Gás de Rede 2D: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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<math>\mathcal{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j + \text{constante}</math>
<math>\mathcal{H} = - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j + \text{constante}</math>


A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado, como veremos mais tarde <ref name=BARKEMA>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.</ref>. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.  
A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado <ref name=BARKEMA>M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.</ref>. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.  


É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: '''(a)''' assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou '''(b)''' não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.   
É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: '''(a)''' assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou '''(b)''' não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.   

Edição das 19h55min de 16 de agosto de 2020

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de partículas da forma onde cada sítio da rede pode assumir o valor , ocupado por uma partícula, ou , não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e é a constante de interação entre as partículas, para a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

Fazendo uma mudança de variáveis da forma saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising [1], spins Up e Down. A variável assume valor (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

Onde é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

Como , e são constantes, o segundo termo é constante. Definindo o Hamiltoniano se torna

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado [2]. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.

Implementação

Resultados

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out TEMP

onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico, argumento dos programas. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot [3] instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out TEMP | gnuplot

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante


Referências

  1. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D
  2. M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
  3. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot