Mudanças entre as edições de "Gás de Rede 2D"

De Física Computacional
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É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: '''(a)''' assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou '''(b)''' não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.   
 
É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: '''(a)''' assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou '''(b)''' não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.   
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\section{Método de Monte Carlo}
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\subsection{Princípios gerais}
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Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a $\pi/4$. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de $\pi$ através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental<ref name=KRAUTH>KRAUTH,W. ,''Statistical Mechanics: Algorithms and Computations''. Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, 2006.</ref>.  É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis.
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\subsection{Algoritmo de Metrópolis}
  
 
== Implementação ==
 
== Implementação ==

Edição das 18h30min de 18 de agosto de 2020

EM CONSTRUÇÃO

Gás de Rede

O Modelo do Gás de Rede 2D consiste em um sistema de partículas da forma onde cada sítio da rede pode assumir o valor , ocupado por uma partícula, ou , não ocupado por uma partícula. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano do Gás de Rede, descrito pela equação

Onde o somatório é dado entre os quatro vizinhos mais próximos e é a constante de interação entre as partículas, para a interação é atrativa. Por se tratar de uma rede quadrada com sítios, apenas uma parcela da rede é ocupada por partículas, ou seja, possuímos uma densidade constante de partículas. Podemos expressar a condição da densidade constante da forma

Fazendo uma mudança de variáveis da forma saímos da situação de ocupação e não ocupação de sítios e obtemos variáveis do Modelo de Ising [1], spins Up e Down. A variável assume valor (up) quando o sítio esta ocupado por uma partícula e quando não está. Aplicando a mudança de variáveis no Hamiltoniano do Gás de Rede obtemos

Onde é o número de coordenação, isto é, o número de vizinhos próximos, neste caso são quatro. Vemos que este Hamiltoniano possui a forma do Hamiltoniano de Ising com campo magnético, a menos de uma constante. Entretanto, com a densidade constante, fazendo a mesma mudança de variáveis, obtemos

E aplicando no Hamiltoniano obtemos

Como , e são constantes, o segundo termo é constante. Definindo o Hamiltoniano se torna

A constante não influencia nos valores da medida, pois ela se cancela na equação de mudança de estado [2]. Vemos que, ao assumir a densidade constante, o modelo do Gás de Rede se torna o modelo de Ising sem a presença de um campo magnético. A condição da densidade constante é a magnetização total do modelo.

É interessante notar que podemos tratar o modelo do gás de rede de duas formas: (a) assumir a densidade constante e utilizar o primeiro Hamiltoniano apresentado, ou (b) não assumir a densidade constante, aplicar a mudança de variáveis discutida e utilizar o Hamiltoniano que possuí a forma de Ising com campo magnético.


\section{Método de Monte Carlo} \subsection{Princípios gerais} Para desenvolver a dinâmica do gás de rede, isto é, fazer com que ocorram alterações na posição das partículas, recorre-se ao método de Monte Carlo. Trata-se, em linhas gerais, de um método estatístico baseado em amostragem aleatória. É comum, ao introduzir-se o assunto, utilizar problemas de cálculo de áreas, como, por exemplo, a clássica história das crianças que desenharam, na areia, um círculo contido em um quadrado, de modo que o diâmetro do círculo seja igual ao lado do quadrado. Jogam, aleatoriamente, pedras no quadrado. Após uma grande quantidade de arremessos, compara-se o valor de pedras que estão dentro do círculo com o número total dentro do quadrado, fazendo a razão entre esses dois valores, encontra-se uma aproximação para a razão entre a área do círculo e a do quadrado, que equivale a $\pi/4$. Desse modo, pode ser encontrada uma aproximação do valor de $\pi$ através do método de Monte Carlo, que simula uma aproximação experimental[3]. É possível propor um novo modelo, no qual o quadrado é grande e as pedras são atiradas aleatoriamente de dentro do quadrado, de modo que a posição de arremesso é atualizada para a posição da última pedra jogada. A principal alteração nesse método é a possibilidade de que uma pedra seja atirada para fora do quadrado. Nesse caso, a posição para o próximo arremesso não muda e as pedras que foram parar fora das bordas do quadrado são empilhadas naquela posição. Essas mudanças no método caracterizam a aplicação de Monte Carlo em uma cadeia de Markov, definida de modo que a configuração do próximo estado depende somente da configuração atual. Até aqui, vimos o método de Monte Carlo aplicado em situações nas quais a probabilidade de um evento ocorrer na configuração subsequente do sistema é zero ou um. Para novas distribuições de probabilidade, utiliza-se o algoritmo de Metrópolis.

\subsection{Algoritmo de Metrópolis}

Implementação

Resultados

Programas Utilizados

Programas na linguagem C. Para utilizar os programas, abra o terminal e compile da forma

$ gcc prog.c -lm

Onde prog.c é o programa que deseja utilizar. E execute da seguinte maneira

$ ./a.out TEMP

onde o segundo termo é a temperatura do banho térmico, argumento dos programas. Os programas possuem uma diretiva de compilação para visualização do sistema ao decorrer da execução. Para utilizar é necessário ter o gnuplot [4] instalado e compilar da forma

$ gcc -DGNU prog.c -lm

e então executar da maneira

$ ./a.out TEMP | gnuplot

Entretanto com a visualização no gnuplot o programa pode demorar mais para executar, então é recomendado diminuir os tempos de transiente (TRAN) e medidas (TMAX).

Ising com Campo

Gás de Rede sem Densidade Constante

Gás de Rede com Densidade Constante


Referências

  1. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D
  2. M. E. J. Newman, G. T. Barkema, "Monte Carlo Methods in Statistical Physics". Oxford University Press Inc., New York, 1999.
  3. KRAUTH,W. ,Statistical Mechanics: Algorithms and Computations. Oxford Master Series in Physics, Oxford University Press, 2006.
  4. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Gnuplot