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{{Ecologia| [[Linearização de sistemas de equações não lineares]] |[[Introdução à equações diferenciais com atraso]]}}
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Antes de tudo, é interessante citar algumas ferramentas normalmente usadas para investigar a estabilidade de sistemas com atraso temporais : teoria de Razumikhin, aproximação com a função de Lambert, Teoria de Lyapunov-Krasovskii e considerações de autovalores para sistemas lineares.
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Começando então com algumas definições de estabilidade, considerando o seguinte problema:
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<math display="block">\begin{align}
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\dot{x}\left(t\right) & =f\left(t,x_{t}\right) & t\geq t_{0}\\
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x\left(t\right) & =x_{0} & t=t_{0}\\
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x\left(t\right) & =\varphi\left(t\right) & t_{0}-\tau_{max}\leq t<t_{0}\end{align}</math>
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Então algumas definições:
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*'''Definição''': Uma função constante <math display="inline">\phi_{e}</math> é chamada de estado de equilíbrio se <math display="inline">f\left(t,\phi_{e}\right)=0</math> para todo <math display="inline">t>t_{0}</math>. Ainda que tenha mais de um estado de equilíbrio, a análise de qualquer ponto pode ser reduzida a uma analise do equilíbrio zero.
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*'''Definição''':O estado de equilíbrio <math display="inline">\phi_{e}=0</math> é estável no sentido de Lyapunov se para quaisquer números positivos <math display="inline">t_{0}</math> e <math display="inline">\varepsilon</math> existe um <math display="inline">\delta\left(\varepsilon,t_{0}\right)</math> em que cada solução contínua do sistema que satisfaça:
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max\left|x\left(t\right)\right|\leq\delta\left(\varepsilon,t_{0}\right) &  & t_{0}\leq t\leq t_{0}+\tau_{max}\end{align}</math>
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Também satisfaça:
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max\left|x\left(t\right)\right|\leq\varepsilon &  & t_{0}\leq t\leq\infty\end{align}</math>
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*'''Definição''': O estado de equilíbrio <math display="inline">\phi_{e}=0</math> é assintoticamente estável se toda solução contínua também satisfaz <math display="inline">\lim_{t\rightarrow\infty}x\left(t\right)\rightarrow0</math>.
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Nas definições acima o número <math display="inline">\delta</math> depende de <math display="inline">t_{0}</math>e <math display="inline">\varepsilon</math>. Se <math display="inline">\delta>0</math> pode ser encontrado independente de <math display="inline">t_{0}</math> a solução <math display="inline">\phi_{e}</math> é chamada de uniformemente e assintoticamente estável.
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=== Autovalores ===
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O método explorado aqui será utilizando considerações de autovalores. Um caso especial de equação diferencial com atraso é dado por:
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<math display="block">\dot{x}\left(t\right)=A_{0}x\left(t\right)+\sum_{i=1}^{k}A_{i}x\left(t-\tau_{i}\right)+\int_{-h}^{0}A_{01}\left(\Theta\right)x\left(t+\Theta\right)d\Theta</math>
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Onde os elementos da matriz <math display="inline">A_{01}\left(\Theta\right)</math> são contínuos e finitos. Então a equação característica é dada por:
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<math display="block">\det\left[\Delta\left(s\right)\right]=\det\left[sI-A_{0}-\sum_{i=1}^{k}A_{i}e^{-s\tau_{i}}-\int_{-h}^{0}A_{01}e^{s\Theta}d\Theta\right]</math>
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Sendo <math display="inline">Re\left(s\right)</math> a parte real de <math display="inline">s</math>, o sistema é assintoticamente e uniformemente estável se:
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<math display="block">Re\left(s\right)<0</math>
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Para todo <math display="inline">s\in \mathbb{C}</math> que satisfaça <math display="inline">\det\left[\Delta\left(s\right)\right]=0</math>.
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====== Principais materiais utilizados:======
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* [https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/20.500.11850/142209/eth-39927-02.pdf Stability and stabilization of time-delay systems] (Gerhard Manfred Schoen, Instituto Federal de Tecnologia de Zurique)
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{{Ecologia| [[Solução via integrais sucessivas]] |[[Análise de estabilidade de equações diferenciais lineares atrasadas | Exemplo: equação diferencial com retardo ]]}}

Edição atual tal como às 15h40min de 16 de junho de 2021

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Antes de tudo, é interessante citar algumas ferramentas normalmente usadas para investigar a estabilidade de sistemas com atraso temporais : teoria de Razumikhin, aproximação com a função de Lambert, Teoria de Lyapunov-Krasovskii e considerações de autovalores para sistemas lineares.

Começando então com algumas definições de estabilidade, considerando o seguinte problema:

Então algumas definições:

  • Definição: Uma função constante é chamada de estado de equilíbrio se para todo . Ainda que tenha mais de um estado de equilíbrio, a análise de qualquer ponto pode ser reduzida a uma analise do equilíbrio zero.
  • Definição:O estado de equilíbrio é estável no sentido de Lyapunov se para quaisquer números positivos e existe um em que cada solução contínua do sistema que satisfaça:

Também satisfaça:

  • Definição: O estado de equilíbrio é assintoticamente estável se toda solução contínua também satisfaz .

Nas definições acima o número depende de e . Se pode ser encontrado independente de a solução é chamada de uniformemente e assintoticamente estável.

Autovalores

O método explorado aqui será utilizando considerações de autovalores. Um caso especial de equação diferencial com atraso é dado por:

Onde os elementos da matriz são contínuos e finitos. Então a equação característica é dada por:

Sendo a parte real de , o sistema é assintoticamente e uniformemente estável se:

Para todo que satisfaça .

Principais materiais utilizados:


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