Equação de Langevin

De Física Computacional
Revisão de 19h41min de 17 de outubro de 2022 por Arturuf (discussão | contribs) (→‎Análise do MSD)
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Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.

Equação de Langevin

Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:

Na equação acima, é o coeficiente de atrito e é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:

Onde é o coeficiente de difusão do meio, é a constante de Boltzmann, é a temperatura e é a massa da partícula macroscópica. Outra relação presente no livro do Frenkel [1], desenvolvida teoricamente, é a do coeficiente de difusão e o deslocamento quadrático médio de uma partícula no meio:

Método BAOAB

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [2] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele é baseado na solução exata para o momentum,

e faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

O aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel do ruído estocástico.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:


É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo , já que ele pode depender de termos já atualizados como ou .

Implementação

Um exemplo de implementação desse método feito foi para a partícula livre. Nota-se que nesse caso a partícula não é afetada por um campo potencial então os passos do método que envolvem a força serão desconsiderados.

A função a seguir se encontra em um código (orientado a objeto) de autoria de do integrante Artur e que pode ser acessado aqui.

    def baoab_livre(self, dt, exp, sqexp, sqt, G):
        '''
        dt: discretização do tempo
        exp: termo referente a primeira exponencial da eq.3
        sqexp: termo da raiz quadrada com exponencial da eq.3
        sqt: termo da raiz quadrada com a Temperatura da eq.3
        G: o vetor G da eq.3
        '''
        # 1/2 passo da distância
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)
        # Passo estocástico
        self.vel[0] = exp*self.vel[0] + sqexp*sqt*G[0]
        self.vel[1] = exp*self.vel[1] + sqexp*sqt*G[1]
        # Atualização final da posição
        self.pos[0] += self.vel[0]*(dt/2)
        self.pos[1] += self.vel[1]*(dt/2)

Essa função representa um passo do laço temporal utilizando o método BAOAB. Os atributos em forma de lista ".pos" e ".vel" representam as componentes x e y respectivamente da posição e velocidade do objeto partícula.

Um exemplo de funcionamento do código é a animação a seguir:

Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.

. O código foi executado usando a semente de números aleatórios 420.

Análise do MSD

Os resultados a serem analisados são originados do código (procedural) do integrante Leonardo.

Foram executadas diferentes vezes a simulação para compararmos a influência do e da temperatura no deslocamento quadrático médio.

Temperaturas de 1-3 e :

MSDg0.1T1.png
MSDg0.1T2.png
MSDg0.1T3.png


Temperaturas de 1-3 e :

MSDg1T1.png
MSDg1T2.png
MSDg1T3.png


Temperaturas de 1-3 e :

MSDg10T1.png
MSDg10T2.png
MSDg10T3.png

De início pode-se notar que o escala de maneira proporcional a (balístico) no início do processo, e depois de um determinado tempo obtemos uma relação linear que é a parte difusiva do processo. Essas inclinações das retas nos regimes balístico e difusivo são constantes em relação ao e à temperatura. Outro aspecto constante é a temperatura, que não gera aparente diferença nos gráficos de MSD

Uma referência da literatura a respeito do MSD (mas no contexto de dinâmica molecular usando o potencial de Lennard-Jones) se encontra no livro do Frenkel, expressa por essa imagem:

A partir da figura pode-se notar que a inclinação das retas representantes dos regimes balístico e difusivo são 2 e 1, valores esses encontrados pelas simulações realizadas.

Outro aspecto importante a se ressaltar é a concordância do cálculo do coeficiente de difusão através da equação (I) e da relação de Einstein em (II), obtida através dos pontos presentes na parte difusiva.

Uma relação interessante encontrada foi a maneira como escala a mudança de regimes, indicada pela reta perpendicular ao eixo do tempo. Podemos encontrar uma aproximação para o tempo em que o regime difusivo inicia na simulação a partir da relação dependente de :

Referências

  1. Daan Frenkel and Berend Smit. 2001. Understanding Molecular Simulation (2nd. ed.). Academic Press, Inc., USA.
  2. Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8