Equação de Langevin

De Física Computacional
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Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.

Equação de Langevin

Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:

Na equação acima, é o coeficiente de atrito e é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:

Onde é o coeficiente de difusão do meio, é a constante de Boltzmann, é a temperatura e é a massa da partícula macroscópica. Outra relação presente no livro do Frenkel [FRENKEL], desenvolvida teoricamente, é a do coeficiente de difusão e o deslocamento quadrático médio de uma partícula no meio:

Método BAOAB

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews [1] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele é baseado na solução exata para o momentum,

e faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

O aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:


É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo , já que ele pode depender de termos já atualizados como ou .

Implementação

Simulação de uma partícula livre sob o efeito da Equação de Langevin.

Referências

  1. Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8