Equação de Kuramoto–Sivashinsky: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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== Método Espectral (FFT) ==
== Método Espectral (FFT) ==


Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.
Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.


A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais.
A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais:


<center><math> \mathcal{F} (v_x) = ik \mathcal{F} (v) \longrightarrow v_x = \mathcal{F^{-1}} \left( ik \mathcal{F} (v) \right) </math></center>
<center><math> \mathcal{F} (v_x) = ik \mathcal{F} (v) \longrightarrow v_x = \mathcal{F^{-1}} \left( ik \mathcal{F} (v) \right) </math>.</center>


Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por
Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por
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onde <math> \hat{v} \equiv \mathcal{F} (v) </math>. A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.
onde <math> \hat{v} \equiv \mathcal{F} (v) </math>. A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.
= Soluções =
Através do método espectral foi possível estudar o comportamento da Equação de Kuramoto-Sivashinsky em sua forma diferencial. Para uma melhor interpretação das soluções, os dados são dispostos em dois modelos de gráfico: um gif em que a passagem de tempo é representada pela mudança de frames, e um gráfico com escala de cores; onde os eixos representam o tempo e o espaço.

Edição das 17h45min de 16 de dezembro de 2023

Nesta página apresentamos uma simulação de Dinâmica Molecular utilizando o potencial de Lennard-Jones como potencial de interação entre as partículas.

Equação

A equação de Kuramoto-Sivashinsky (KS) foi inicialmente proposta por Yoshiki Kuramoto e Gregory Sivashinsky para a modelagem das instabilidades da frente de uma chama laminar.

No entanto, a forma diferencial da equação foi descoberta independentemente na área de dinâmica de fluidos, onde ficou mais conhecida para a modelagem de filmes finos.

A equação apresenta comportamentos caóticos ao ser estudada em geometrias anelares, ou seja, condições de contorno periódicas; por isso esse será o caso estudado aqui.

Métodos de Solução

Diferenças Finitas (FTCS)

O método mais simples foi aplicado a fim de entender o comportamento da equação. Tentativas de linearização resultaram em uma equação de comportamento muito distinto do descrito na literatura; e portanto, não é de nosso interesse estudá-la. É importante relembrar que a aplicação do método FTCS não é recomendado no caso de não linearidades pois o método tem baixa precisão e pode acumular erros.

Como esperado, a solução numérica teve sua estabilidade atrelada à suas condições iniciais; ou seja, a solução é instável (exceto em casos bem específicos, onde ela se comporta de forma análoga à equação da difusão).

Solução FTCS de condição inicial
Solução FTCS de condição inicial


Método Espectral (FFT)

Utilizando o método fft em conjunto com as propriedades da transformada de fourier, pode-se resolver a EDP utilizando a forma de derivada espectral. Esse método possui alta precisão e é capaz de incorporar o comportamento ondulatório de soluções, algo característico da equação de Kuramoto-Sivashinsky.

A derivada espectral é caracterizada pela transformada de fourier de uma derivada, o que facilita a resolução de equações diferenciais parciais:

.

Essa propriedade permite que a resolução da parte espacial da equação de Kuramoto-Sivashinsky diferencial seja dada por

,

onde . A parte temporal também pode ser resolvida da mesma forma, mas o método de Runge-Kutta (RK45) foi aplicado em seu lugar por sua maior simplicidade e velocidade de processamento.


Soluções

Através do método espectral foi possível estudar o comportamento da Equação de Kuramoto-Sivashinsky em sua forma diferencial. Para uma melhor interpretação das soluções, os dados são dispostos em dois modelos de gráfico: um gif em que a passagem de tempo é representada pela mudança de frames, e um gráfico com escala de cores; onde os eixos representam o tempo e o espaço.