Equação de Ginzburg-Landau complexa: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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Realizando a mudança de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada.
Realizando a mudança de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações.

Edição das 14h56min de 27 de abril de 2024

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:

  • Ondas não lineares;
  • Transições de fase de segunda ordem;
  • Supercondutividade;
  • Superfluidez;
  • Condensado de Bose-Einstein.

A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.

Dedução

Espaço de fase do oscilador harmônico

A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase

Definindo a variável complexa , a equação acima pode ser reescrita como

Realizando a mudança de variável , com , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações.