Equação de Ginzburg-Landau complexa: mudanças entre as edições

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\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2.
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Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em
Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

Edição das 15h14min de 28 de abril de 2024

A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:

  • Ondas não lineares;
  • Transições de fase de segunda ordem;
  • Supercondutividade;
  • Superfluidez;
  • Condensado de Bose-Einstein.

A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:

É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.

Dedução

Espaço de fase do oscilador harmônico

A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular

Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e

Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase

Define-se, então, a variável complexa , portanto a equação acima pode ser reescrita como

Ao realizar a transformação de variável , com , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear tal que

também seja invariante a rotações.

Então, perante às transformações e , a função deve satisfazer

para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.

Considerando pequenas oscilações, é possível expandir em potências de e até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se

Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de

Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de . As novas equações obtidas são

Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar na equação, o que resulta na solução trivial e . Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de e de devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso e , pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se para , , com e . Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em

Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima. Para isso, é adicionado um termo proporcional ao laplaciano de A, , cujo significado fica evidente ao discretizar a função. Ele computa a diferença de no sítio em questão com relação à média dos sítios vizinhos, resultando em uma tendência de pontos próximos oscilarem com amplitudes e fases semelhantes. Ao adicionar esse novo termo e redefinir as constantes de modo a reduzi-las sem perder as características importantes do sistema, chega-se na equação complexa de Ginzburg-Landau

Método FTCS

Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) explícito que consiste em discretizar o domínio temporal e o espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial, porém fazemos por diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões:

para

Aplicamos o método da seguinte maneira:

Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (), chegamos em :

Referências

[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554

[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis

[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation