Equação de Ginzburg-Landau complexa: mudanças entre as edições
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Define-se, então, a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, portanto a equação acima pode ser reescrita como | |||
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Ao realizar a transformação de variável <math>A \rightarrow A e^{i \chi}</math>, com <math>\chi \in \mathbb{R}</math>, a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear <math>f(A, A^*)</math> tal que | |||
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f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i} | f(A, A^*) = \alpha_1 A + \alpha_2 |A|^2 A, \quad \alpha_1 = \alpha_{1r} + i \alpha_{1i}, \quad \alpha_2 = \alpha_{2r} + i \alpha_{2i} | ||
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Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de <math>A = R e^{i\phi}</math> | |||
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\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\phi} = \omega_0 + \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. | |||
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Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de <math>\phi = \varphi + \omega_0 t</math>. As novas equações obtidas são | |||
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\dot{R} = \alpha_{1r} R + \alpha_{2r} R^3, \quad \dot{\varphi} = \alpha_{1i} + \alpha_{2i} R^2. | |||
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Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar <math>\dot{R} = 0</math> na equação, o que resulta na solução trivial <math>R^{(est)} = 0</math> e <math>R^{(est)} = \sqrt{-\alpha_{1r}/\alpha_{2r}}</math>. Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de <math>\alpha_{1r}</math> e de <math>\alpha_{2r}</math> devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso <math>\alpha_{1r} < 0</math> e <math>\alpha_{2r} > 0</math>, pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se <math>\alpha_{1r} = \mu \sigma_1</math> para <math>\sigma_1 > 0</math>, <math>\alpha_{2i} = \mu \omega_1</math>, <math>\alpha_{2r} = -g_r</math> com <math>g_r > 0</math> e <math>\alpha_{2i} = - g_i</math>. Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em | |||
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\dot{A} = \mu (\sigma_1 + \omega_1) A - (g_r + ig_i)|A|^2 A | |||
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Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima..... | |||
== Método FTCS == | == Método FTCS == | ||
Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) que consiste em discretizar a solução temporal e a solução espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial porém fazemos por uma diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. | |||
A partir da CGLE em duas dimensões: | |||
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\frac{\partial A}{\partial t} = \alpha(\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}) + A - \beta A|A|^2. | |||
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para | |||
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\alpha = (1+ic_1); \beta = (1-ic_3) | |||
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Aplicamos o método da seguinte maneira: | |||
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\frac{A(x,y,t+\Delta t) - A(x,y,t)}{\Delta t} = \alpha(\frac{A(x+\Delta x,y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^2}+\frac{A(x,y+\Delta y,t) - 2*A(x,y,t) + A(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^2}) + A(x,y,t) - \beta A(x,y,t)|A(x,y,t)|^2. | |||
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\frac{A_{i,j}^{N+1} - A_{i,j}^{N}}{\Delta t} = \alpha(\frac{A_{i+1,j}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i-1,j}^{N}}{\Delta x^2}+\frac{A_{i,j+1}^{N} - 2*A_{i,j}^{N} + A_{i,j-1}^{N}}{\Delta y^2}) + A_{i,j}^{N} - \beta A_{i,j}^{N}|A_{i,j}^{N}|^2. | |||
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Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (<math>\Delta y = \Delta x</math>), chegamos em : | |||
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A_{i,j}^{N+1} = A_{i,j}(1+\Delta t(1-\beta|A_{i,j}|^2))+\frac{\Delta t \alpha}{\Delta x^2}(A_{i+1,j}+A_{i-1,j}+A_{i,j+1}+A_{i,j-1} - 4*A_{i,j}) | |||
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== Referências == | |||
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554 | |||
[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis | |||
[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation |
Edição das 19h06min de 27 de abril de 2024
A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:
- Ondas não lineares;
- Transições de fase de segunda ordem;
- Supercondutividade;
- Superfluidez;
- Condensado de Bose-Einstein.
A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:
É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.
Dedução
A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular
Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e
Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase
Define-se, então, a variável complexa , portanto a equação acima pode ser reescrita como
Ao realizar a transformação de variável , com , a equação acima permanece inalterada. Ou seja, a equação é invariante a rotações. Então, busca-se uma função não linear tal que
também seja invariante a rotações.
Então, perante às transformações e , a função deve satisfazer
para que seja possível fatorar o termo responsável pela rotação e obter novamente a equação original.
Considerando pequenas oscilações, é possível expandir em potências de e até a menor ordem possível que satisfaça a condição e que introduza uma não linearidade à equação. Com isso, obtém-se
Utilizando o resultado encontrado e expressando em coordenadas polares por meio de
Em seguida, muda-se para o referencial que gira com a mesma frequência do oscilador harmônico por meio da definição de . As novas equações obtidas são
Para encontrar a amplitude estacionária, pode-se tomar na equação, o que resulta na solução trivial e . Então, para que exista uma amplitude estacionária não nula, os sinais de e de devem ser opostos. Além disso, por inspeção observa-se que, caso e , pequenos valores de amplitude irão diminuir e grandes valores de amplitude irão aumentar, o que indica que a solução estacionária não trivial será instável. Portanto, define-se para , , com e . Por fim, ao voltar para a representação no plano complexo, chega-se em
Esta é a equação de Stuart-Landau. Para obter a equação complexa de Ginzburg-Landau, é necessário considerar um sistema espacialmente extenso, em que cada ponto é um oscilador modelado pela equação acima.....
Método FTCS
Para estudar o comportamento das soluções foi utilizados o método FTCS(Foward-Time Central-Space) que consiste em discretizar a solução temporal e a solução espacial da equação, resolvemos as derivadas espaciais por uma aproximação dos pontos vizinhos ao ponto que queremos encontrar, enquanto atualizamos a parte temporal, também por uma aproximação como na parte espacial porém fazemos por uma diferenciação entre a taxa de variação (solução futura) e a solução atual. A partir da CGLE em duas dimensões:
para
Aplicamos o método da seguinte maneira:
Agora reorganizando a equação para deixar o tempo futuro na esquerda e o tempo atual na direita e considerando que os passos na direção x tem o mesmo tamanho do que os na direção y (), chegamos em :
Referências
[1] García-Morales, V., & Krischer, K. (2012). The complex Ginzburg–Landau equation: an introduction. Contemporary Physics, 53(2), 79–95. https://doi.org/10.1080/00107514.2011.642554
[2] H. Riecke, (2021). Methods of Nonlinear Analysis
[3] Igor S. Aranson, Lorenz Kramer, (2001). The World of the Complex Ginzburg-Landau Equation