Equação de Ginzburg-Landau complexa: mudanças entre as edições
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A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como: | |||
A equação de Ginzburg-Landau complexa | * Ondas não lineares; | ||
* Transições de fase de segunda ordem; | |||
* Supercondutividade; | |||
* Superfluidez; | |||
* Condensado de Bose-Einstein. | |||
A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo: | |||
<math> | |||
\frac{\partial A}{\partial t} = (1+ic_1)\nabla^2 A + A - (1-ic_3) A|A|^2. | |||
</math> | |||
É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço. | |||
== Dedução == | |||
[[File:Phase_space_circle.png|thumb|right|Espaço de fase do oscilador harmônico]] | |||
A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde <math>E</math> é a energia, <math>q'</math> e <math>p'</math> a coordenada e seu respectivo momento, <math>m</math> é a massa e <math>\omega_0</math> a frequência angular | |||
<math> | |||
E = \frac{p'^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_0^2 q'^2. | |||
</math> | |||
Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, <math>q'=q/m^{1/2}</math> e <math>p' = p m^{1/2}</math>, a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de <math>\omega_0 q</math> e <math>p</math> | |||
<math> | |||
E = \frac{p^2}{2} + \frac{1}{2}\omega_0^2 q'^2. | |||
</math> | |||
Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde <math>R</math> é a amplitude e <math>\phi</math> a fase | |||
<math> | |||
\dot{R} = 0, \quad \dot{\phi} = \omega_0. | |||
</math> | |||
Definindo a variável complexa <math>A = R e^{i \phi}</math>, a equação acima pode ser reescrita como | |||
<math> | |||
\dot{A} = i \omega_0 A | |||
</math> |
Edição das 14h25min de 27 de abril de 2024
A equação de Ginzburg-Landau complexa (CGLE) surgiu inicialmente em 1969 como um modelo para o inicio de instabilidades em problemas de convecção de fluídos. A partir de então, ela se tornou uma das equações não lineares mais estudadas da física, descrevendo uma variedade enorme de fenômenos como:
- Ondas não lineares;
- Transições de fase de segunda ordem;
- Supercondutividade;
- Superfluidez;
- Condensado de Bose-Einstein.
A equação de Ginzburg-Landau complexa, quando escrita de modo a minimizar o número de constantes, é dada pela equação abaixo:
É possível deduzir a CGLE a partir do oscilador linear harmônico por meio de argumentos de simetria, encontrando a equação de Stuart-Landau, e, em seguida, considerando um sistema estendido no espaço.
Dedução
A energia de um oscilador harmônico é expressa pela equação abaixo, onde é a energia, e a coordenada e seu respectivo momento, é a massa e a frequência angular
Ao realizar as seguintes mudanças de variáveis, e , a equação da energia produz trajetórias circulares no espaço de fase de e
Essa é uma importante simetria do oscilador harmônico linear, resultando que a sua energia é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação, não dependendo da fase. Isso sugere uma motivação, qual é o menor termo não linear que pode ser adicionado de modo a preservar essa simetria. Para tanto, o estado do sistema será descrito em coordenadas polares, onde é a amplitude e a fase
Definindo a variável complexa , a equação acima pode ser reescrita como