Mudanças entre as edições de "Equação de Fitzhugh-Nagumo"

De Física Computacional
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(Modelo FitzHung-Nagumo 2D)
(Modelo FitzHung-Nagumo 2D)
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onde os índices <math>i</math> e <math>j</math> se referem às coordenadas <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente; e o índice <math>n</math> referente ao tempo.
 
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na qual os índices <math>i</math> e <math>j</math> se referem às coordenadas <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente; e o índice <math>n</math> referente ao tempo.
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Vamos verificar as condições de estabilidade do problema por modos de Fourier:  
 
Vamos verificar as condições de estabilidade do problema por modos de Fourier:  
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<math>\frac{A^{n+1}}{A^{n}} = 1 + 4k\left[ \sin^2(\Delta xq_x/2) + \sin^2(\Delta yq_y/2)\right] -\Delta t \alpha</math>
 
<math>\frac{A^{n+1}}{A^{n}} = 1 + 4k\left[ \sin^2(\Delta xq_x/2) + \sin^2(\Delta yq_y/2)\right] -\Delta t \alpha</math>
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Sabemos que a condição de estabilidade por modos de Fourier é obtida quando <math>\left|\frac{A^{n+1}}{A^{n}}\right| < 1</math>, portanto
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<math>\left|1 -\Delta t \alpha + 4k\left[ \sin^2(\Delta xq_x/2) + \sin^2(\Delta yq_y/2)\right]\right| < 1</math>
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Como <math>0<\Delta t<1</math> e <math>0< \alpha <1</math>, no pior dos casos os termos de senos ao quadrado são 1, e a condição de estabilidade fica
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<math>\frac{\alpha \Delta t}{8} < k < \frac{2 + \alpha \Delta t}{8}</math>
  
 
==Resultados==
 
==Resultados==

Edição das 12h54min de 2 de abril de 2021

Grupo: Bernardo Boatini, Murilo Kessler Azambuja e Natália Ferrazzo

O objetivo deste trabalho é implementar e estudar a dinâmica do modelo FitzHungh-Nagumo, e das equações que o compõem, para potenciais de ação em células e tecidos excitáveis. Os métodos computacionais utilizado para resolver os problemas e implementar o modelo foi o FTCS (Forward Time Centered Space) e o método de Crank-Nicolson.

Potencial de Ação em Neurônios

A células vivas são sistemas eletricamente sensíveis, ou seja, podem reagir a estímulos elétricos. Isso se dá devido ao fato de que substâncias carregadas estão naturalmente vinculadas a seus processos internos de interação com o ambiente, principalmente por intermédio de canais iônicos e proteínas transmebrana como, por exemplo, a Bomba de Sódio e Potássio(Bomba Na⁺/K⁺ ATPase)[1].

Naturalmente todas as células vivas possuem um potencial de repouso(PR) elétrico, ou seja, uma diferença de potencial elétrico, em relação ao meio(cerca de 0,1); mantida por um equilíbrio químico de concentração de íons dentro e fora da membrana plasmática.

Existem células que reagem estímulos elétricos apenas reestabelecendo o PR original por transporte passivo(sem gasto de energia) através da membrana, e estas são ditas células não-excitáveis.

Por outro lado, existem células que sob a ação do mesmo estímulo produzem um tipo de resposta bem característica: potencial de ação(PA); um pulso elétrico intenso(capaz de inverter a polarização do Potencial de Membrana) que se propaga ao longo da membrana da célula, sustentado por uma cadeia de transportes ativos(com gasto de energia) e que não decai ao longo do tempo e espaço; a esse tipo de células damos o nome de excitáveis[1].

Os Neurônios são as células excitáveis do tecido nervoso(que constituem o encéfalo e medula espinhal, gânglios e nervos do reino animal) e com já vimos são capazes de gerar PA. Um potencial de ação pode assumir diversos formatos, mas ao longo do axônio(Figura 1) de um neurônio eles tendem a uma curva como a da Figura 2.

Figura 1 -Representação de um potencial de ação(vermelho) ao longo de um axônio de neurônio, partindo do soma neural em direção a arvore dentrítica.
Figura 2 -Curva de um Potencial de Ação genérico no tempo, em um ponto do axônio de um neurônio.

Olhando para Figura 2 vemos alguns aspectos importantes:

  • O potencial de ação necessita de um estímulo mínimo(limiar) para ser ativado, abaixo desse valor o estímulo decai como em uma célula não excitável;
  • Acima desse limiar a célula segue o principio de "Tudo ou Nada", ou seja, assume o valor máximo possivel dentro de sua capacidade, independente do estímulo aplicado;
  • A etapa de despolarização(crescimento) é brusca e varia mais rapidamente que a repolarização(decaimento);
  • O período que contém a repolarização e hiperpolarização da membrana é chamado período refratário, e se caracteriza por não permitir que ocorra nenhum disparo até que a membrana atinja o potencial de repouso.


Modelo

Equação de Nagumo

Para iniciar a modelagem do sistema, devemos antes enfatizar três condições básicas que o potencial deve obedecer para que seja um PA:

  • Deve existir um limiar de voltagem para que um estímulo desencadeie o PA;
  • Uma vez atingido o limiar, a voltagem deve aumentar até o máximo possível;
  • Caso o estímulo não atinja o limiar, ele deve desaparecer rapidamente.

Podemos então definir como a variável normalizada que fará o papel do potencial elétrico no axônio, sendo que é definido como o potencial de repouso, é o estímulo máximo e é o limiar de voltagem . Desta forma podemos escrever as condições acima como

Pode-se dizer que estas condições impõem que e sejam pontos de equilíbrio estável, enquanto seja um ponto de equilíbrio instável.

Assim, a variação temporal do potencial elétrico na célula pode ser dada por

Onde é alguma função que faz satisfazer as condições do potencial.

No modelo de Nagumo, utiliza-se o polinômio de terceiro grau .

Substituindo em , é fácil notar que , e são pontos de equilíbrio de . Por outro lado, como podemos ver na Figura 3, se , temos que logo o valor de diminui até atingir o ponto de equilíbrio em . Se fazendo o potencial crescer até atingir o valor máximo em . Desta forma, temos que e são pontos de equilíbrio estável, enquanto que é um ponto de equilíbrio instável, assim como se esperava pelas condições do potencial.

Figura 3 — Curva de com

Em outras palavras, vemos o caráter "tudo ou nada" do potencial quando utilizamos o polinômio . Se o valor do estímulo inicial se encontrar entre e , o estímulo desaparece, porém se o estímulo inicial estiver entre e , o estímulo é amplificado até o valor máximo. Entretanto, neste modelo inicial o PA não é propagado por todo axônio, ele atua apenas localmente, onde ocorreu o estímulo. Além disso, uma vez estimulado o neurônio nunca volta para o seu estado de repouso, permanecendo no valor máximo de potencial.

Equação de Nagumo difusiva

Para resolver o problema do modelo

Método de Crank-Nicolson

(explicar o método --> Natália)

Equação de Nagumo Difusiva 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Natália)

Método FTCS

(explicar o método --> Murilo)

Equação de Recuperação 1D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Murilo))

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(aplicar o método na equação e testar estabilidade --> Bernardo)

O sistema de EDP's em 2 dimensões, assumindo uma difusão isotrópica, é dado por



Como a equação de recuperação já foi discretizada, e não depende da dimensão do problema, precisamos apenas aplicar o FTCS na equação difusiva de naumo em 2D, assumindo , temos





onde os índices e se referem às coordenadas e respectivamente; e o índice referente ao tempo.

Vamos verificar as condições de estabilidade do problema por modos de Fourier:

  • substituindo
  • usando
  • por simplicidade, como fizemos na seção 3.1, vamos linearizar
  • por fim, desconsiderar




Dividindo os dois lados da equação por temos



Sabendo as seguintes identidades trigonométricas:

Aplicando consecutivamente a equação




Sabemos que a condição de estabilidade por modos de Fourier é obtida quando , portanto



Como e , no pior dos casos os termos de senos ao quadrado são 1, e a condição de estabilidade fica


Resultados

Equação de Nagumo Difusiva 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Natália)

Modelo FitzHung-Nagumo 1D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Murilo)

Modelo FitzHung-Nagumo 2D

(explicar os testes e os gráficos/animações --> Bernardo)

Discussão

(Contextualizar resultados --> Bernardo)

Programas

Referências