Equação de Dirac

De Física Computacional
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Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin , como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Assim como para a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:

onde, como anteriormente, os autovalores de correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.

A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:

Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.

Partícula livre

Consideramos o Hamiltoniano

onde é uma matriz adimensional e \boldsymbol{p} é o vetor momento linear da partícula.

Partícula sob ação de um potencial

Método de Lax

Referências

  1. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
  2. SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.