Equação de Dirac: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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(→‎Forma explícita final: sistema simplificado)
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\begin{cases}
\begin{cases}
\left(i \frac{\partial}{\partial t} - V - V_{sc} - 1\right) \Phi_1 + \left(i \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y}\right) \Phi_4 = 0 \\
\left(i \dfrac{\partial}{\partial t} - V - V_{sc} - 1\right) \Phi_1 + \left(i \dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial}{\partial y}\right) \Phi_4 = 0 \\
\left(i \frac{\partial}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial y}\right) \Phi_1 + \left(i \frac{\partial}{\partial t} - V + V_{sc} + 1\right) \Phi_4 = 0
\left(i \dfrac{\partial}{\partial x} - \dfrac{\partial}{\partial y}\right) \Phi_1 + \left(i \dfrac{\partial}{\partial t} - V + V_{sc} + 1\right) \Phi_4 = 0
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\frac{\partial \Phi_1}{\partial t} = -i(V + V_{sc} + 1\right) \Phi_1 -\frac{\partial \Phi_4}{\partial x} + i\frac{\partial \Phi_4}{\partial y} \\
\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial t} = -i(V + V_{sc} + 1) \Phi_1 -\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial x} + i\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial y} \\
\frac{\partial \Phi_4}{\partial t} = -i(V - V_{sc} - 1\right) \Phi_1 -\frac{\partial \Phi_1}{\partial x} - i\frac{\partial \Phi_1}{\partial y}
\dfrac{\partial \Phi_4}{\partial t} = -i(V - V_{sc} - 1) \Phi_4 -\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial x} - i\dfrac{\partial \Phi_1}{\partial y}
\end{cases}
\end{cases}
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Edição das 14h18min de 28 de abril de 2024

Grupo: André Luis Della Valentina, Lucas dos Santos Assmann, Vinícius Bayne Müller

Introdução

A equação de Dirac descreve uma partícula relativística de spin , como o elétron, com estrutura análoga a da equação de Schrödinger. Ela surgiu inicialmente como tentativa de explicar discrepâncias entre experimentos e teoria para o espectro do átomo de hidrogênio, possibilitando correções para o cálculo da energia do elétron em diferentes níveis (as chamadas correções de estrutura fina). Além disso, por meio dela foi possível prever a existência de antimatéria: descrevendo o elétron, ela também descreve o pósitron.

A fim de compatibilizar a Mecânica Quântica com a Relatividade Especial, a equação diferencial parcial é de primeira ordem tanto no tempo quanto no espaço (diferentemente da equação de Schrödinger, que é de segunda ordem no espaço). A equação de Dirac pode ser escrita de diversas formas; aqui, apresentamo-la explicitamente como um sistema de EDPs acopladas, mais conveniente para os propósitos do trabalho.

Assim como a equação de Schrödinger, a construção da equação de Dirac vem a partir do operador Hamiltoniano, que descreve a evolução temporal do estado quântico em questão:

onde, como anteriormente, os autovalores de correspondem aos valores possíveis de energia que o sistema pode assumir.

A mudança com relação à Mecânica Quântica não relativística acontece quando consideramos a energia relativística da partícula:

Assim, o Hamiltoniano é modificado para representar a medida da energia relativística total.

Diferentemente da equação de Schrödinger, aqui não representa apenas uma função de onda, mas sim um conjunto de quatro delas. Usando a notação

,

as componentes de representam as funções de onda associadas ao elétron e ao pósitron: () representa a função de onda do elétron com spin up (down), e () representa a função de onda do pósitron com spin up (down). O objeto é chamado de spinor.

Dedução da equação de Dirac em duas dimensões

Consideraremos neste trabalho a equação de Dirac em duas dimensões, e . A escolha dessas coordenadas se dá pela conveniência do acoplamento das EDPs: nesse caso, as quatro equações acopladas passam a ser acopladas duas a duas, facilitando o estudo do sistema.

Construção do Hamiltoniano completo

Consideremos uma partícula sob ação de um potencial (onde ), que afeta a energia potencial da partícula, e de um potencial "escalar" , que afeta a massa de repouso da mesma. Seguindo uma das propostas possíveis para o Hamiltoniano, temos

onde ; e são matrizes 4x4 adimensionais e é o vetor momento linear da partícula.

Pode-se mostrar que e devem satisfazer certos vínculos, limitando as escolhas possíveis para essas matrizes. A escolha mais simples e usualmente adotada consiste em tomar

Sendo , podemos escrever o produto escalar como

Portanto, em notação matricial o Hamiltoniano pode ser escrito como

Unidades naturais e redução para duas dimensões

A fim de simplificar o formalismo, adotamos as chamadas "unidades naturais", onde . Note que isso equivale a reescalar as quantidades físicas do problema por um fator adequado. Ao fazer , também assumimos que a partícula está no limite relativístico.

Além disso, queremos estudar o problema em duas dimensões. Observamos que ; logo, . Portanto, temos o Hamiltoniano simplificado

Forma explícita final

Retornando ao problema original, queremos resolver

Novamente utilizando a notação matricial, obtemos

Realizando a multiplicação matricial, pode-se ver que se obtém dois sistemas acoplados: com e com . Escolhendo o sistema de com :


Simplificando e isolando a derivada temporal, obtemos por fim

Discretização

Referências

  1. The quantum theory of the electron. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, v. 117, n. 778, p. 610–624, fev. 1928.
  2. SAKURAI, J. J. Mecânica quântica moderna. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
  3. BAO, W. et al. Numerical Methods and Comparison for the Dirac Equation in the Nonrelativistic Limit Regime. Journal of Scientific Computing, v. 71, n. 3, p. 1094–1134, jun. 2017.