Equação de Cahn-Hilliard em 2D: mudanças entre as edições

De Física Computacional
Ir para navegação Ir para pesquisar
Sem resumo de edição
Sem resumo de edição
Linha 5: Linha 5:
Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.
Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.


== Equação de Cahn-Hiliiard em Uma Dimensão ==
== Equação de Cahn-Hiliiard utilizando Transformada de Fourier ==
Como o primeiro passo do desenvolvimento da resolução em duas dimensões, um código foi feito para solucionar o problema em uma dimensão utilizando Transformadas de Fourier. Abaixo, temos a equação original:
Para encontrar a equação que implementaremos com o uso da Transformada Rápida de Fourier, precisamos encontrar a nossa equação representada no espaço de Fourier. Seguirei a literatura de S. Bulent Biner [3], onde há um capítulo dedicado a resolver equações de difusão com métodos que utilizam esta transformada. Primeiro, resolveremos em uma dimensão a equação, que segue abaixo:


:<math>
:<math>
Linha 18: Linha 18:
</math>
</math>


Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo (seguindo a literatura de S. Bulent Biner [3] pág. 95, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):
Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):


:<math>
:<math>
Linha 31: Linha 31:


Assim, obtemos a seguinte equação:
Assim, obtemos a seguinte equação:
:<math>
:<math>
\frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k - \{c\}_k) - \gamma k^4 \{c\}_k \bigr)
\frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k - \{c\}_k) - \gamma k^4 \{c\}_k \bigr)
Linha 46: Linha 47:
\{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \Delta t \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr)
\{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \Delta t \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr)
</math>
</math>
Dado que conhecemos a forma da equação em uma dimensão, podemos encontrar sua equivalente bidimensional com maior facilidade. A única diferença entre as duas equações está no laplaciano, que resultará na derivada no eixo <math>y</math> aparecer também. No entanto, a notação da transformada permanece a mesma, e <math>k</math> representará um vetor com coordenada <math>(k_{1}, k_{2})</math> com módulo <math>\sqrt{k_1^2 + k_2^2}</math>, onde <math>k_1</math> e <math>k_2</math> são os coeficientes em <math>x</math> e <math>y</math> respectivamente.


== Equação de Cahn-Hiliiard em Duas Dimensões==
== Equação de Cahn-Hiliiard em Duas Dimensões==


Agora que já sabemos como ela
== Referências ==
== Referências ==
[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT
[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

Edição das 10h17min de 22 de setembro de 2022

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard utilizando Transformada de Fourier

Para encontrar a equação que implementaremos com o uso da Transformada Rápida de Fourier, precisamos encontrar a nossa equação representada no espaço de Fourier. Seguirei a literatura de S. Bulent Biner [3], onde há um capítulo dedicado a resolver equações de difusão com métodos que utilizam esta transformada. Primeiro, resolveremos em uma dimensão a equação, que segue abaixo:

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a , resultando na seguinte equação:

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

Assim, obtemos a seguinte equação:

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar , obtemos a equação final:

Dado que conhecemos a forma da equação em uma dimensão, podemos encontrar sua equivalente bidimensional com maior facilidade. A única diferença entre as duas equações está no laplaciano, que resultará na derivada no eixo aparecer também. No entanto, a notação da transformada permanece a mesma, e representará um vetor com coordenada com módulo , onde e são os coeficientes em e respectivamente.

Equação de Cahn-Hiliiard em Duas Dimensões

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017