Mudanças entre as edições de "Equação de Cahn-Hilliard em 2D"

De Física Computacional
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\frac{\partial^n c_k}{\partial x^n} = (ik)^n \{c\}_k
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\Bigl\{ \frac{\partial^n c}{\partial x^n} \Bigr\}_k = (ik)^n \{c\}_k
 
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\{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \Delta t \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr)
 
\{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \Delta t \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr)
 
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== Equação de Cahn-Hiliiard em Duas Dimensões==
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Agora que já sabemos como ela
 
== Referências ==
 
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[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT
 
[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

Edição das 09h09min de 22 de setembro de 2022

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard em Uma Dimensão

Como o primeiro passo do desenvolvimento da resolução em duas dimensões, um código foi feito para solucionar o problema em uma dimensão utilizando Transformadas de Fourier. Abaixo, temos a equação original:

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a , resultando na seguinte equação:

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo (seguindo a literatura de S. Bulent Biner [3] pág. 95, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

Assim, obtemos a seguinte equação:

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar , obtemos a equação final:

Equação de Cahn-Hiliiard em Duas Dimensões

Agora que já sabemos como ela

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017