Mudanças entre as edições de "Equação de Cahn-Hilliard em 2D"

De Física Computacional
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'''Leonardo Dasso Migottto'''
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'''Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS'''
  
O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando o método de Transformadas de Fourier em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.
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O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.
  
Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim [https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard]. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes.
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Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.
  
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== Equação de Cahn-Hiliiard em Uma Dimensão ==
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Como o primeiro passo do desenvolvimento da resolução em duas dimensões, um código foi feito para solucionar o problema em uma dimensão utilizando Transformadas de Fourier. Abaixo, temos a equação original:
  
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:<math>
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\frac{\partial c}{\partial t} = D {\nabla}^2 (c^3 - c - \gamma {\nabla}^2 c)
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</math>
  
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Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a <math>x</math>, resultando na seguinte equação:
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:<math>
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\frac{\partial c}{\partial t} = D \Bigl( \frac{\partial^2 (c^3 - c)}{\partial x^2} - \gamma \frac{\partial^4 c}{\partial x^4} \Bigr)
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</math>
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Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo (seguindo a literatura de S. Bulent Biner [3] pág. 95, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):
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:<math>
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\frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \Bigl( \Bigl\{ \frac{ \partial^2 c^3 - c}{\partial x^2} \Bigr\}_k - \gamma \Bigl\{ \frac{\partial^4 c}{\partial x^4} \Bigr\}_k \Bigr)
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</math>
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Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:
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:<math>
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\frac{\partial^n c_k}{\partial x^n} = (ik)^n \{c\}_k
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</math>
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Assim, obtemos a seguinte equação:
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:<math>
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\frac{\partial \{c\}_k}{\partial t} = D \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k - \{c\}_k) - \gamma k^4 \{c\}_k \bigr)
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</math>
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O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:
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:<math>
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\frac{\partial \{c\}_k}{\partial t}\to \frac{\{c\}_k^{n+1}-\{c\}_k^n}{\Delta t}
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</math>
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Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar <math>\{c\}_k^{n+1}</math>, obtemos a equação final:
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:<math>
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\{c\}_k^{n+1} = \{c\}_k^n + D \bigl(-k^2 (\{c^3\}_k^n - \{c\}_k^n) - \gamma k^4 \{c\}_k^n \bigr)
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</math>
 
== Referências ==
 
== Referências ==
[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard
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[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT
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[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard
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[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017

Edição das 18h11min de 21 de setembro de 2022

Leonardo Dasso Migottto WORK IN PROGRESS

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, utilizando a Transformada Rápida de Fourier [1] em uma e (principalmente) em duas dimensões. Será explorado as variações em concentração inicial e seus respectivos padrões formados, dados coeficientes de difusão e largura da superfície fixos.

Esta equação já foi tratada em detalhes por colegas anteriores a mim[2], e a leitura do trabalho por eles desenvolvido é recomendada para maior entendimento da equação. O foco deste trabalho é explorar a solução numérica para a equação quando tratada em duas dimensões, onde a formação de padrões apresenta resultados mais interessantes. No entanto, a fim de facilitar a implementação e entendimento em duas dimensões, também será exibido uma implementação em uma dimensão.

Equação de Cahn-Hiliiard em Uma Dimensão

Como o primeiro passo do desenvolvimento da resolução em duas dimensões, um código foi feito para solucionar o problema em uma dimensão utilizando Transformadas de Fourier. Abaixo, temos a equação original:

Em uma dimensão, os laplacianos podem ser substituídos pela derivada segunda em relação a , resultando na seguinte equação:

Para solucioná-la numericamente, aplicaremos a Transformada de Fourier à frente em ambos os lados, da maneira descrita abaixo (seguindo a literatura de S. Bulent Biner [3] pág. 95, onde k é o respectivo coeficiente de Fourier):

Em seguida, substituimos as derivadas espaciais pela sua equivalente no espaço de Fourier:

Assim, obtemos a seguinte equação:

O próximo passo é fazer a derivada à direita quanto ao tempo da seguinte maneira:

Substituindo na equação e reescrevendo-a a fim de isolar , obtemos a equação final:

Referências

[1] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/FFT

[2] https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Cahn-Hilliard

[3] S_Bulent_Biner_Programming_Phase_Field_Modeling_Springer_2017