Equação de Cahn-Hilliard

De Física Computacional
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Grupo: Arthur Dornelles, Bruno Zanette, Gabriel De David e Guilherme Hoss

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Cahn-Hilliard, que descreve o processo de decomposição spinodal de uma mistura binária, utilizando o método FTCS (Forward Time Centered Space).

Decomposição Espinodal

Decomposição espinodal é o nome dado ao processo no qual uma pequena perturbação de um sistema faz com que, uma fase homogênea termodinamicamente instável, diminua sua energia e separe-se espontaneamente em duas outras fases coexistentes, esse é um processo que ocorre sem nucleação, ou seja, é instantâneo. Ela é observada, por exemplo, em misturas de metais ou polímeros e pode ser modelada pela equação de Cahn-Hilliard.

A Equação de Cahn-Hilliard

A equação de Cahn-Hilliard descreve o processo de decomposição espinodal de uma mistura binária. Em outras palavras, é uma equação que descreve o processo de separação de fase entre dois componentes de um fluido binário que se separam de maneira espontânea.

Consideraremos - de início - uma mistura binária de dois componentes A e B descritas pelas concentrações dos fluidos e , respectivamente.

Além disso, podemos considerar que - para uma mistura binária - e portanto podemos simplificar para apenas uma concentração :

Tendo isso em vista, podemos agora utilizar a primeira lei de Fick da difusão:

juntamente da equação da continuidade:

Onde é o coeficiente de difusão e é o fluxo de difusão. Em seguida, ao combinarmos ambas as equações anteriores o resultado gera a segunda lei de Fick da difusão:

Por definição, verificou-se que a concentração não poderia ser a razão da difusão, portanto outra força estaria presente. E, nesse caso, encontrou-se que a principal força responsável pela difusão negativa é o potencial químico. Portanto, outra equação pode ser derivada para generalizar a primeira lei de Fick:

Onde é a mobilidade das partículas (análoga à D) e é o potencial químico. Com essa nova equação podemos agora também deduzir uma nova equação para a segunda lei de Fick:

Essa equação também é conhecida como equação de Cahn-Hilliard.

Nessa equação, podemos usar a definição do potencial químico através da densidade da energia livre de Gibbs como:

Onde é a densidade da energia livre de Gibbs e é a concentração.

Tendo em vista a substituição do termo por um termo que envolva a concentração dos fluidos, utiliza-se uma equação que descreve a densidade de energia desse sistema através da concentração dos mesmos:

Nesse caso, é a energia livre de Gibbs, é a densidade de energia livre devido à contribuições de ambas as fases homogêneas e é a densidade de energia livre devido ao gradiente de concentração na interface (ou energia de interface).

Além disso, a função tem o formato de um poço de potencial duplo, que pode ser representado pela seguinte equação:

Levando essas informações em conta e - utilizando um parâmetro análogo à largura da interface - que é descrito por é possível encontrar uma equação que descreve a densidade de energia livre de Gibbs para um sistema duplo-fásico:

Com essas igualdades agora se torna possível o cálculo de em função da concentração dos fluidos:

Finalmente - utilizando a última expressão encontrada - torna-se possível reescrever o potencial químico em função da mobilidade de suas partículas () e a concentração do fluido:

Essa equação final é chamada de equação de Cahn-Hilliard. A equação dependente da difusão é análoga e também funcional:

Método FTCS (Forward Time Centered Space)

O FTCS é um método numérico utilizado para resolver equações diferenciais parciais, tais como a difusão do calor e do transporte de massa, traduzindo, significa "Progressivo no tempo, avançado no espaço". Esse método pode ser utilizado em sua forma implícita ou explícita que estão descritas abaixo.

FTCS Explicito

Para difusão:


Resolução do Cahn-Hilliard Equation para FTCS explicito para x somente:


Condição de Estabilidade

Resultados

Coeficientes.png


Implementção

def vector_declaration(L,dx):
  c = [[],[]] # vetor concentração
  espaco = []
  for i in range(int(L/dx)+4): # condições iniciais
    if (i<1/2*L/dx+2):
      c[0].append(-1)
      c[1].append(-1)
    else:
      c[0].append(1)
      c[1].append(1)
    espaco.append(round(i/150,3))
  return c, espaco

def CH_equation(gamma, D, dx, dt, L, TEMPO_MAX): # resolução numérica da equação

  c, espaco = vector_declaration(L, dx)
  i = 0
  for time in [t*dt/TEMPO_MAX for t in range(int(TEMPO_MAX/dt))]:
    for l in range(2,len(c[1][2:-2])):
    
      c1 = c[i][l-1]**3 - 2*c[i][l]**3 + c[i][l+1]**3
      c2 = -c[i][l-1] + 2*c[i][l] - c[i][l+1]
      c3 = c[i][l-2] -4*c[i][l-1] + 6*c[i][l] - 4*c[i][l+1] + c[i][l+2]
      c[1-i][l] = D*dt/(dx**2)*(c1+c2-gamma**2*c3/(dx**2)) + c[i][l]
    i = 1-i

  return(espaco[2:-2],c[1-i][2:-2])

Referências

  • SIBBING, Zimo. Numerical methods for the implentation of the Cahn-Hilliard equation in one dimension and a dynamic boundary condition in two dimensions, tese de bacharelado, 2015.
  • MARKUS, Wilczek. The Cahn-Hilliard Equation, 2015.
  • CAHN, John W.; HILLIARD, John E. Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy. The Journal of Chemical Physics, 1958.