Mudanças entre as edições de "Equação de Burgers"

De Física Computacional
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Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde <math>u</math> corresponde ao campo de velocidades e <math>\nu</math> ao coeficiente de difusão:
 
Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde <math>u</math> corresponde ao campo de velocidades e <math>\nu</math> ao coeficiente de difusão:
  
<math>\frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = \nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t)</math>
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<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = \nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t) </math>
  
 
A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a ''transformação de Hopf-Cole'', que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica <ref name=Hopf>Hopf, E. (1950). The partial differential equation ut + uux = μxx. Communications on Pure and Applied Mathematics, 3(3), 201–230. doi:10.1002/cpa.3160030302</ref>.  
 
A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a ''transformação de Hopf-Cole'', que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica <ref name=Hopf>Hopf, E. (1950). The partial differential equation ut + uux = μxx. Communications on Pure and Applied Mathematics, 3(3), 201–230. doi:10.1002/cpa.3160030302</ref>.  
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Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.
 
Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.
  
== Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces ==
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== A transformação de Hopf-Cole ==
<!--[[Arquivo:fungo.jpg|250px|thumb|left|'''Figura 1''': Ilustração da estrutura de um fungo. <ref name='PAULA'> P. L. Moraes. Fungos. Mundo Educação. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/biologia/os-fungos.htm. Acesso em: 15 de Maio de 2021. </ref>.]]
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A transformação de Hopf-cole mapeia a solução da equação de Burgers na equação do calor <ref name=Hopf></ref> <ref name=Evans>Evans, Lawrence C. (2010). Partial differential equations. [S.l.]: Providence, R.I. : American Mathematical Society. pp. 175–176</ref> <ref name='Meyland'>  
[[Arquivo:ramifica.png|250px|thumb|right|'''Figura 2''': Processos de ramificação de fungos. À esquerda a ramificação dicotômica (''Dichotomous'') e à direita o processo de ramificação lateral <ref name='HOPKINS'></ref>.]] -->
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Meylan, M., 2020. Nonlinear PDE Meylan. Lecture 12. [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/CsnUKrLjtyQ> [Acessado em 30 Setembro de 2021] </ref>:
  
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<math> \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\nu \Delta \psi(x,t) </math>
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Escrevendo a equação, para uma certa condição inicial <math>F(x)</math>:
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<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + u(x,t)\frac{\partial}{\partial x}u(x,t) = \nu\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t) </math>
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<math> u(x,0)=F(x) </math>
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Assim, reescrevendo a equação:
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<math> \frac{\partial}{\partial t}u(x,t) + \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{(u(x,t))^{2}}{2}-\nu \frac{\partial}{\partial x}u(x,t)\right) = 0 </math>
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Busca-se uma solução <math> \psi(x,t) </math> que satisfaça:
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<math> \left\{\begin{array}{l}
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\cfrac{\partial \psi}{\partial x}=u\\
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\cfrac{\partial \psi}{\partial t}=\nu \cfrac{\partial}{\partial x}u - \cfrac{u^{2}}{2}
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\end{array}\right. </math>
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Como:
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<math> \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial x} </math>
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Tem-se, que:
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<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = \nu\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} -\frac{1}{2}\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^{2} </math>
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Aplicando a transformação de Hopf-Cole:
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<math> \psi=-2\nu\ln{(\phi)} </math>
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Assim, os seguintes resultados são obtidos:
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<math> \frac{\partial\psi}{\partial x} = -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right) </math>
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<math> \frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}} = \frac{2\nu}{\phi^{2}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^{2} - \frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\right) </math>
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<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) </math>
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Dessa forma:
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<math> \frac{\partial\psi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} - \frac{1}{2}\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^{2} \rightarrow -\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = \frac{2\nu^{2}}{\phi^{2}}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^{2}-\frac{2\nu^{2}}{\phi}\left(\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\right)-\frac{1}{2}\left[\frac{2\nu}{\phi}\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}\right)\right]^{2} </math>
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<math> \implies \frac{\partial \phi}{\partial t} = \nu\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} </math>
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A equação se torna a própria equação de difusão. É necessário, no entanto, transformar também as condições de contorno; assim:
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<math> F(x)=u(x,0)=-\frac{2\nu}{\phi(x,0)}\left(\frac{\partial \phi(x,0)}{\partial x}\right) </math>
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Podendo ser reescrito como:
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<math> \rightarrow \frac{d}{dx}\ln{(\phi)}=-\frac{1}{2\nu}F(x)</math>
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Cuja solução:
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<math> \phi(x,0)=\Phi(x)=\exp{\left(-\frac{1}{2\nu}\int_{0}^{x}F(s)ds\right)}</math>
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Dessa forma, é preciso resolver:
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<math> \left\{\begin{array}{l}
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\cfrac{\partial \phi}{\partial t}=\nu\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}\\
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\phi(x,0)=\Phi(x)
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\end{array}\right. </math>
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Utilizando a transformada de Fourier:
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<math> \left\{\begin{array}{l}
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\cfrac{\partial \hat{\phi}}{\partial t}=-k^{2}\nu\hat{\phi}\\
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\hat{\phi}(k,0)=\hat{\Phi}(k)
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\end{array}\right. </math>
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Cuja solução:
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<math> \hat{\phi}(k,t)=\hat{\Phi}(k)e^{-k\nu t} </math>
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Aplicando o teorema da convolução:
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<math> \phi(x,t)=\Phi(x)\mathcal{F}^{-1}\left[e^{-k^{2}\nu t}\right] = \frac{1}{2\sqrt{\pi\nu t}}\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(y)e^{\frac{(x-y)^{2}}{4\nu t}}dy </math>
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<math> \implies \phi(x,t)=\frac{1}{2\sqrt{\pi\nu t}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{f}{2\nu}}dy </math>
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Onde:
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<math> f(x,y,t)=\frac{1}{2\nu}\int_{0}^{y}F(s)ds + \frac{(x-y)^{2}}{2t} </math>
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Em <math>u</math>:
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<math> \rightarrow u(x,t)=-\frac{2\nu}{\phi(x,t)}\left(\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x}\right) </math>
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<math> \implies u(x,t)=\frac{\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{x-y}{t}\right)e^{-\frac{f}{2\nu}}dy}{\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{f}{2\nu}}dy} </math>
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== Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces ==
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[[Arquivo:kpzgrow.gif|275px|thumb|right|'''Figura 1''': Modelo de deposição balística (pertencente à família dos modelos KPZ). O modelo é como um tetris onde os blocos caem e se fixam no primeiro contato. <ref name='Halpin'> Halpin-Healy, T., 2015. KPZ growth model - ballistic deposition (BD). [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/pdeswgu9rS8> [Acessado em 30 Setembro de 2021] </ref>.]]
 
Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, [https://en.wikipedia.org/wiki/Kardar%E2%80%93Parisi%E2%80%93Zhang_equation ''equação de Kardar-Parisi-Zhang''] (equação ''KPZ''), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo <ref name=Reis>REIS, F. D. A. A. Depinning transitions in interface growth models. Brazilian journal of physics, v. 33, n. 3, p. 501–513, 2003</ref>.
 
Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, [https://en.wikipedia.org/wiki/Kardar%E2%80%93Parisi%E2%80%93Zhang_equation ''equação de Kardar-Parisi-Zhang''] (equação ''KPZ''), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo <ref name=Reis>REIS, F. D. A. A. Depinning transitions in interface growth models. Brazilian journal of physics, v. 33, n. 3, p. 501–513, 2003</ref>.
  
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A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.
 
A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de <math>h(x,t)</math> (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.
  
A equação de Burgers é obtida a partir da equação KPZ, pelo gradiente de <math>h(x,t):</math>
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A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-Colem.
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== Solução para uma Onda Viajante ==
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Um dos grandes obstáculos com a programação de um modelo biológico com variáveis discretas é o processamento de grandes quantidades de dados. Conforme o tempo de simulação aumenta e as redes de hifas se tornam maiores e mais complexas, a quantidade de informação processada aumenta exponencialmente e, devido a esse fato, algumas características típicas do desenvolvimento de fungos citadas na primeira seção foram deixadas de lado para a construção de nosso modelo computacional (como a ramificação lateral e a translocação). No entanto, os mecanismos essenciais para o bom funcionamento da simulação foram mantidos e serão abordados mais profundamente nessa seção.
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== Velocidade de Choque ==
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== Características da Equação ==
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== Métodos Numéricos ==
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=== Conservação ===
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=== Lax-Friedrichs ===
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=== Lax-Wendroff ===
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== Implementação ==
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== Objetivos Futuros ==
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<math>u(x,t)=-\nabla h(x,t)</math>
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== Referências ==
  
 
<references/>
 
<references/>

Edição das 18h54min de 30 de setembro de 2021

(EM EDIÇÃO)

Grupo: Eduardo Pedroso, Luis Gustavo Lang Gaiato, William...

Um dos maiores desafios no campo dos sistemas complexos é a compreensão do fenômeno de turbulência. Simulações computacionais contribuíram bastante para o entendimento dessa área, no entanto, ainda não existe nenhuma teoria que explique com sucesso esse comportamento e permita prever outros importantes fenômenos como misturas, convecção e combustão turbulentas, com base nas equações fundamentais da dinâmica de fluidos. Isso se deve ao fato de que a equação para os fluidos mais simples (incompressíveis) já deve levar em consideração propriedades não lineares [1]. Da equação de Navier–Stokes:

Devido à incompressibilidade, a pressão é definida pela equação de Poisson:

Em 1939 o cientista alemão Johannes Martinus Burgers simplificou a equação de Navier-Stokes, removendo o termo de pressão. A equação ficou conhecida como equação de Burgers. Em uma dimensão, onde corresponde ao campo de velocidades e ao coeficiente de difusão:

A equação de Burgers é não linear e, portanto, espera-se um comportamento similar ao da turbulência. No entanto, foi demonstrado posteriormente que a equação de Burgers homogênea, não possuí a propriedade mais importante atribuída ao fenômeno de turbulência: o comportamento caótico em relação à pequenas mudanças nas condições iniciais. Utilizando a transformação de Hopf-Cole, que transforma a equação de Burgers em uma equação parabólica linear é possível observar essa característica [2].

Do ponto de vista numérico, isso é bastante importante, pois permite a comparação das soluções da equação não linear numérica com o resultado analítico. Dessa forma, pode-se investigar a qualidade do método numérico utilizado.

A transformação de Hopf-Cole

A transformação de Hopf-cole mapeia a solução da equação de Burgers na equação do calor [2] [3] [4]:

Escrevendo a equação, para uma certa condição inicial :

Assim, reescrevendo a equação:

Busca-se uma solução que satisfaça:

Como:

Tem-se, que:

Aplicando a transformação de Hopf-Cole:

Assim, os seguintes resultados são obtidos:

Dessa forma:

A equação se torna a própria equação de difusão. É necessário, no entanto, transformar também as condições de contorno; assim:

Podendo ser reescrito como:

Cuja solução:

Dessa forma, é preciso resolver:

Utilizando a transformada de Fourier:

Cuja solução:

Aplicando o teorema da convolução:

Onde:

Em :

Modelo de Deposição - Crescimento de Interfaces

Figura 1: Modelo de deposição balística (pertencente à família dos modelos KPZ). O modelo é como um tetris onde os blocos caem e se fixam no primeiro contato. [5].

Um exemplo de aplicação é no crescimento de interfaces por deposição, já que a equação de Burgers é equivalente a equação conhecida como, equação de Kardar-Parisi-Zhang (equação KPZ), um modelo de crescimento de uma superfície sólida por deposição de vapor (ou erosão de material de uma superfície sólida), que mostra a evolução da altura da camada com o tempo [6].

A equação é obtida a partir da equação de advecção simples para uma superfície se movimentando com velocidade :

A velocidade é assumida como sendo proporcional ao gradiente de (superfície evolui na direção do gradiente). A difusão da superfície é descrita pelo termo de difusão.

A equação KPZ é obtida a partir da equação Burgers, no passo imediato à aplicação da transformação de Hopf-Colem.

Solução para uma Onda Viajante

Um dos grandes obstáculos com a programação de um modelo biológico com variáveis discretas é o processamento de grandes quantidades de dados. Conforme o tempo de simulação aumenta e as redes de hifas se tornam maiores e mais complexas, a quantidade de informação processada aumenta exponencialmente e, devido a esse fato, algumas características típicas do desenvolvimento de fungos citadas na primeira seção foram deixadas de lado para a construção de nosso modelo computacional (como a ramificação lateral e a translocação). No entanto, os mecanismos essenciais para o bom funcionamento da simulação foram mantidos e serão abordados mais profundamente nessa seção.

Velocidade de Choque

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Características da Equação

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Métodos Numéricos

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Conservação

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Lax-Friedrichs

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Lax-Wendroff

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Implementação

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Objetivos Futuros

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Referências

  1. F. M. White, Viscous Fluid Flow, 3rd ed. New York, NY: McGraw-Hill Professional, 2005.
  2. 2,0 2,1 Hopf, E. (1950). The partial differential equation ut + uux = μxx. Communications on Pure and Applied Mathematics, 3(3), 201–230. doi:10.1002/cpa.3160030302
  3. Evans, Lawrence C. (2010). Partial differential equations. [S.l.]: Providence, R.I. : American Mathematical Society. pp. 175–176
  4. Meylan, M., 2020. Nonlinear PDE Meylan. Lecture 12. [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/CsnUKrLjtyQ> [Acessado em 30 Setembro de 2021]
  5. Halpin-Healy, T., 2015. KPZ growth model - ballistic deposition (BD). [online] Youtube.com. Disponível em: <https://youtu.be/pdeswgu9rS8> [Acessado em 30 Setembro de 2021]
  6. REIS, F. D. A. A. Depinning transitions in interface growth models. Brazilian journal of physics, v. 33, n. 3, p. 501–513, 2003