Equação de Águas Rasas: mudanças entre as edições

De Física Computacional
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Linha 195: Linha 195:


Generalizando a expressão (31) para a componente y.
Generalizando a expressão (31) para a componente y.
<math> \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (36) </math>
<math> \frac{\tau_y}{\rho} = \frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} \qquad (36) </math>


Linha 203: Linha 204:
<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (38) </math>
<math> \frac{\partial N}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial y}\Big(\frac{N^{2}}{D}\Big) + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{MN}{D}\Big) +gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} N(M^2 +N^2)^{1/2} = 0 \qquad (38) </math>


Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente <math> y</math> das expressões (16),(37) e (38).
Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente <math> y</math> das expressões (16),(37) e tomando o fluxo de descarga <math> N </math> como nulo.
 
<math>\frac{\partial \eta}{\partial t} + \frac{\partial M}{\partial x} = 0 \qquad (39) </math>
 
<math> \frac{\partial M}{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x}\Big(\frac{M^{2}}{D}\Big) + gD \frac{\partial \eta}{\partial x} +\frac{gn^{2}}{D^{7/3}} M^2= 0 \qquad (40) </math>


=== Forma Conservativa ===
=== Forma Conservativa ===

Edição das 13h16min de 16 de outubro de 2021

Grupo: Gabriel Schmökel e Julia Remus

Em construção

Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.

Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico. [1]

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Descrição Física

As equações de águas rasas são as equações físicas que descrevem o fenômeno do Tsunami, em uma dimensão elas são dadas por:

Na representação do fluxo de descarga estas equações se tornam:

As componentes da equação de águas rasas podem ser melhor interpretadas através da seguinte figura:

Componentes das equações de águas rasas

corresponde a amplitude da onda, determina a profundidade do mar em repouso, é o deslocamento total da água, é a velocidade do fluído e é o fluxo de descarga.

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:


é a densidade; p é a pressão; é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; é o vetor aceleração da gravidade; é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por , no qual indica a direção e o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno [2] para a superfície e para a profundidade do oceano :

, onde

, onde

é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (5) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano não varia significativamente com o tempo e a posição.

Integrando a expressão da continuidade em (9), utilizando a regra da integral de Leibniz [3], com os limites indo de até chegamos na seguinte expressão:

Teorema de Leibniz:

Substituindo as condições de contorno da profundidade (8) em (10) obtemos:

Substituindo a condição de contorno da superfície (7) em (12):

(13) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (13) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma [4]:

Substituindo (14) e (15) em (13) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y}          + w\frac{\partial u}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_x = 0 \qquad (17) }

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y}          + w\frac{\partial v}{\partial z} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} +g_y = 0 \qquad (18) }

Na componente z em (19) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes e em (17) e (18), passamos a definir .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (19) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

Substituindo a pressão em (17):

Integrando a expressão (21), utilizando a regra da integral de Leibniz e as condições de contorno (7) e (8), com os limites indo de até chegamos em outra das equações de águas rasas:

Generalizando a equação (22), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

Na representação de fluxo de cargas as expressões (22) e (23) são apresentadas respectivamente como:

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos onde , e as perpendiculares por elementos onde

Decompondo nas componentes x,y, e z de presente em (6):

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

Substituindo (29),(30) em (26), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (7) e (8), obtemos:

Onde é a constante de viscosidade turbulenta, é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos negligenciar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar. [5]

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\tau_x}{\rho} é } é:

é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning é mais usado, alguns valores deste coeficiente são: [6]

Material Coeficiente de Rugosidade de Manning
Cimento puro e metal liso 0,010
Terra lisa 0,017
Pedras, ervas daninhas 0,035
Péssimo relevo de canal 0,060
Bom relevo de canal 0,025

O coeficiente de fricção e o de rugosidade de Meanning estão relacionados por:

Substituindo (34) em (33) obtemos:

Generalizando a expressão (31) para a componente y.

Adicionando, repectivamente, (35) e (36) nas expressões (24) e (26), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

Em uma dimensão podemos expressar as equações de águas rasas eliminando a componente das expressões (16),(37) e tomando o fluxo de descarga como nulo.

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido [7][8]. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

  • O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção
  • A aceleração na direção da velocidade na direção é zero
  • As componentes das velocidades em e em ( e ) não variam em


O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

Onde é a altura do fluido desde a base, são as velocidades médias na direções , é a constante gravitacional e é função que descreve a superfície onde acontece o movimento.

Para descrever numericamente as equações de águas rasas na forma conservativa foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.

Forma não Conservativa

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (16),(37) e (38). Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal.

Discretizando a expressão (16):

Discretizando a expressão (37):

Definindo as quantidades:

Das quantidades definidades e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos a respectiva avanço temporal para M:

Generalizando a expressão (52) para o fluxo de descarga N temos:

Simulações Computacionais de Tsunamis

Solução em 1D

Para a solução em uma direção foi utilizado os mesmos códigos abaixo descritos, desconsiderando a contribuição da direção . Após a descrição dos programas desenvolvidos, será apresentada uma comparação entre ele e o 2D (conservativo e dissipativo).

Forma conservativa 2D

As equações (42),(43) e (44) foram implementadas em python para descrever a evolução temporal das variáveis , e .

As condições de contorno dos exemplos obedecem as expressões:

  • Nos contornos de x: , discretizando essa derivada temos que:
  • Nos contornos de y: , discretizando essa derivada temos que:

Código

O código foi escrito na linguagem Python.

#%% Bibliotecas 
import numpy as np

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import animation
import matplotlib.patches as mpatches
from IPython.display import HTML, Image

#%% Parametros

L_xf = 10.0  # m
L_x0 = -L_xf

NX = 100

dx = (L_xf - L_x0) / NX


L_yf = 10.0  # m
L_y0 = -L_yf

NY = 100

dy = (L_yf - L_y0) / NY

N_INNER = (NX - 2) * (NY - 2)

g = 9.8 # m /s^2

# Tempo
dt = 0.002
Nt = 1500

time_interval = np.arange(0, Nt*dt, dt)


#%% Discretização do espaço x-y

x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX-1)  
y = np.linspace(L_y0, L_yf, NY-1)
X, Y = np.meshgrid(x, y) 

#%% Condições iniciais, em distribuição gaussiana

sigma = 1.0
sigma_v = 1.0

h_2d = 6 * np.ones(shape=np.shape(X)) + np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma**2))))
u_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))
v_2d = 0.1 * np.exp(-(((X)**2 / 2*(sigma_v**2)) + ((Y)**2 / 2*(sigma_v**2))))

b = np.ones(shape=np.shape(X))  # Fundo da superficie constante

h_2d -= b  # diminui a altura da superficie

#%% Vetores das variáveis anteriores e historico das variaveis

h_ant = np.copy(h_2d)
v_ant = np.copy(v_2d)
u_ant = np.copy(u_2d)

# Inicilização das listas para armazenar os valores

hist_h, hist_u, hist_v = [], [], []


Função para resolução das equações diferenciais com FTCS.

# Fator de multiplicacao 
mx = (dt / (2*(dx)))
my = (dt / (2*(dy)))

def resolve_pdes(h, vx, vy):

    """
    Função que retorna os valores de profunidade, velocidade em x e em y 
    no próximo tempo
    
    Parametros
    -----------
    h : array
                  profundidade no tempo t 
    vx : aray
        velocidade em x no tempo t
      
    vy : array
        velocidade em y no tempo t
    
    Retorna
    -----------
    prox_h : array
                  profundidade no tempo t + dt
    prox_u : array
        velocidade em x no tempo t + dt
      
    prox_v : array
        velocidade em y no tempo t + dt
    
    """

    # Inicializa os vetores para armazenarem os resultados calculados
    prox_h = np.ones(shape = (np.shape(h)), dtype = np.float64)
    prox_u = np.ones(shape = (np.shape(vx)), dtype = np.float64)
    prox_v = np.ones(shape = (np.shape(vy)), dtype = np.float64)
    
    
    # Loop nos pontos discretizados 
    
    for i in range(1, NX - 1):
        for j in range(1, NY - 1):
            
        
            # Alturas e velocidades conforme a posicao do ponto:
            # _l : ponto a esquerda, _r: ponto a direita, _up: ponto acima, _d: abaixo
        
            # Condicao a esquerda ------------------
            if i == 1:  # primeiro x interno
                        
                h_l = h[i, j]
                u_l = -vx[i, j]
                v_l = vy[i, j]
        
            else:
                h_l = h[i-1, j]
                u_l = vx[i-1, j]
                v_l = vy[i-1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao a direita -------------------
            if i == NX - 2:  # ultimo x interno

                h_r = h[i, j]
                u_r = -vx[i, j]
                v_r = vy[i, j]
            
            else:
                h_r = h[i+1, j]
                u_r = vx[i+1, j]
                v_r = vy[i+1, j]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao abaixo  ----------------------
            if j == 1:  # primeiro y interno 
                h_d = h[i, j]
                u_d = vx[i, j]
                v_d = - vy[i, j]
            
            else:
                h_d = h[i, j - 1]
                v_d = vy[i, j - 1]
                u_d = vx[i, j - 1]
            # --------------------------------------
        
            # Condicao acima  ----------------------
            if j == NY - 2:  # utlimo y interno
            
            
                h_up = h[i, j]
                u_up = vx[i, j]
                v_up = - vy[i, j]
            
            else:
                
                h_up = h[i, j + 1]
                v_up = vy[i, j + 1]
                u_up = vx[i, j + 1]
            # --------------------------------------


            ## Primeira Equação
        
            h_ij = h[i, j] - \
                  (h_r  * u_r  - h_l  * u_l) * fator_x - \
                   (h_up * v_up - h_d  * v_d) * fator_y 
            
            prox_h[i, j] = h_ij
        
            # ## Segunda equação
        
            hu_ij = ((h[i, j]) * vx[i, j]) - \
                    mx * (
                        ((h_r  * (u_r ** 2))  + (1/2 * g * (h_r ** 2))) -\
                        ((h_l  * (u_l ** 2))  + (1/2 * g * (h_l ** 2)))
                    ) - \
                    my * (
                        (h_up * u_up * v_up ) - (h_d  * u_d  * v_d)
                    ) - \
                    mx * g * h[i, j] * (b[i, j+1]  - b[i, j-1]) 

            # # ## Terceira Equação
        
            hv_ij = (h[i, j] * vy[i, j]) - \
                    m_x * (
                        (h_r  * u_r * v_r) - (h_l  * u_l * v_l)
                    ) - \
                    my * (
                        ((h_up * (v_up ** 2)) + (1/2 * g * (h_up ** 2))) - \
                        ((h_d  * (v_d  ** 2)) + (1/2 * g * (h_d  ** 2)))
                    ) - \
                    my * g * h[i, j] * (b[i, j+1]  - b[i, j-1])     

            prox_v[i, j] = hv_ij / (h_ij)
        
    return prox_h, prox_u, prox_v
#%% Cálculo

# Resolve para cada passo de tempo

for t in time_interval:
    

    h, u, v = resolve_pdes(h_ant, u_ant, v_ant)  # valores das variaveis no tempo = t + dt
    
    # faz isso pq tava dando um erro estranho nesses pontos?
    h[0, :] = h[1, :]
    h[:, 0] = h[:, 1]
    
    v[0, :] = v[1, :]
    v[:, 0] = v[:, 1]
    
    u[0, :] = u[1, :]
    u[:, 0] = u[:, 1]
    
    # adicionar essas variáveis em listas pra conseguir plotar dps 
    hist_h.append(h); hist_u.append(u); hist_v.append(v)
    
      
    # Coloca as variaveis atuais como anteriores pro proximo calculo
    h_ant = np.copy(h)
    u_ant = np.copy(u)
    v_ant = np.copy(v)
#%% Gráfico

# Reorganiza os vetores para plotar

x_2d = X[0]
y_2d = Y[0]

for i in range(1,len(X)):
    
    x_2d = np.append(x_2d, X[i])
    y_2d = np.append(y_2d, Y[i])

def animate(i):
    plt.clf()  # limpa a figura, pra nao ficar sobrepondo figs

    # titulos
    plt.suptitle('Evolução da onda', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: {round(dt*i, 3)}', fontsize=12)
    
    # labels
    plt.ylabel('y', fontsize=8)
    plt.xlabel('x', fontsize=8)
    
    # plot
    graph = plt.scatter(x_2d, y_2d, c= hist_h[0::8][i], vmin=4.5, vmax=5.5, marker='.')
    
    plt.colorbar()
    plt.savefig(f'caminho-frames/{i}.png')
    

    return graph
    

# fig = plt.figure(figsize=(16,9))
# ax = fig.gca(projection='3d')

fig, ax = plt.subplots()
ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, frames = len(hist_h[0::8]), repeat=False, interval=0.1)

#%% Salva o gif, com os frames salvos anteriormente
images = []
for i in range(len(hist_h[0::80])):
    images.append(imageio.imread(f'caminho-frames/{i}.png'))
imageio.mimsave("gif2.gif", images,fps=8)

Resultados

Exemplo 1. Onda confinada em uma caixa com profundidade constante: utilizando que a superfície é constante e que tanto a velocidade quanto altura da onda são inicialmente funções gaussianas centradas no espaço, obtemos a evolução no espaço que pode ser vista no GIF abaixo.

Evolução da amplitude da onda em uma caixa. Forma conservativa

Exemplo 2. Onda confinada em uma caixa com profundidade variável: utilizando a função é possível simular uma onda chegando em uma praia, esse exemplo foi feito em 1D conservativo e pode ser visto abaixo.

Para realizar o código a partir do 2D conservativo mostrado acima, basta desconsiderar as derivadas em e inicializar os vetores da altura e velocidade com a discretização em apenas uma dimensão, abaixo descrita. Deve-se notar que o problema passa a ter um índice, pois a discretização não forma mais uma malha, então pode ser retirado um laço for do código.

#%% Discretização do espaço x
x = np.linspace(L_x0, L_xf, NX)
  
#%% Condições iniciais da superficie e da agua

# Superficie
b = 5 * np.tanh((x- L_xf*0.3) / 2)  # funcao tangente
b += np.full(shape=(np.shape(b)), fill_value=-np.min(b))  # aqui é somado só para a funcao comecar em zero


# Onda e velocidade
sigma = 1.0   # distribuicao da onda
sigma_v = 1.0  # distribuicao da onda

h_2d = 1.1 * max(b) * np.ones(shape=np.shape(x)) + np.exp(-((x)**2/(2*(sigma**2)))) 
h_2d -= b
 
u_2d =  0.08 * np.exp(-((x)**2/(2*(sigma_v**2))))


Evolução da amplitude da onda em uma caixa com profundidade variável. Forma conservativa

Forma dissipativa 2D

Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de , , , onde as funções em python atualiza_eta, atualiza_M, e atualiza_N implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência [9] foi usado como base.


def atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):
            
            dMdx = (M[j+1,i] - M[j-1,i]) / (2. * dx)
            dNdy = (N[j,i+1] - N[j,i-1]) / (2. * dy)
            eta[j, i] = eta[j, i] - dt * (dMdx + dNdy)
    
    #Condições de contorno do problema
    eta[0,:] = eta[1,:]
    eta[-1,:] = eta[-2,:]
    eta[:,0] = eta[:,1]
    eta[:,-1] = eta[:,-2]
    
    return eta
def atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    M2 = M **2 / D
    MN = M * N / D
    fric = g * n**2 * M * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dM2dx = (M2[j+1,i] - M2[j-1,i]) / (2. * dx)
            dMNdy = (MN[j,i+1] - MN[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdx = (eta[j+1,i] - eta[j-1,i]) / (2. * dx)
            
            M[j, i] = M[j, i] - dt * (dM2dx + dMNdy + g * D[j,i] * dETAdx + fric[j,i])
            
    return M
def atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny):
    
    
    MN = M * N / D
    N2 = N**2 / D
    fric = g * n**2 * N * np.sqrt(M**2 + N**2) / D**(7./3.)
    
    for j in range(1,nx-1):
        for i in range(1,ny-1):            
            
            dMNdx = (MN[j+1,i] - MN[j-1,i]) / (2. * dx)
            dN2dy = (N2[j,i+1] - N2[j,i-1]) / (2. * dy)
            dETAdy = (eta[j,i+1] - eta[j,i-1]) / (2. * dy)
            
            N[j, i] = N[j, i] - dt * (dMNdx + dN2dy + g * D[j,i] * dETAdy + fric[j,i])
                        
    return N

A função shallow water waves recebe os parâmetros iniciais do nosso programa, executa o Loop responsável pela atualização das variáveis da amplitude da onda e do fluxo de descarga com o tempo, através da chamada das funções atualiza M,N e eta. Posteriormente, a cada 10 passagens dentro do loop um plot do sistema é feito.

def shallow_water(eta0, M0, N0, h, g, n, nt, dx, dy, dt, X, Y):
    
    
    # Copia o campos de amplitude da onda, e os fluxos de descarga  
    eta = eta0.copy()
    M = M0.copy()
    N = N0.copy()
    
    D = eta + h
    
    # Retorna o número de pontos na direção x e y para eta
    ny, nx = eta.shape
    
    # Dividi o espaço Lx e Ly definindo os pontos nas direções x e y
    x = np.linspace(0, nx*dx, num=nx)
    y = np.linspace(0, ny*dy, num=ny)
    
    limites = [np.min(x), np.max(x), np.min(y), np.max(y)]
    
    # PLOT
    plt.clf()
    
    
    fig = plt.figure(figsize=(10.,6.))
    plt.tight_layout()
    
    plt.suptitle('Evolução da onda - forma disspitava - n = 20.0', fontsize=14)
    plt.title(f'Tempo: 0 s', fontsize=10)
    
    # plot profundidade
    fundo = plt.imshow(-h, cmap ='Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
    amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= .75, vmin=-1.0, vmax= 1.0)
    
    plt.xlabel('x [m]')
    plt.ylabel('y [m]')
    cbar_amp = plt.colorbar(amp)
    cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
    cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
    cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')
    
    plt.show()
    plt.close()
    
    conta = 0
    
    # Loop over timesteps
    for k in range(1,nt):
        

        eta = atualiza_eta(eta, M, N, dx, dy, dt, nx, ny)
        M = atualiza_M(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)
        N = atualiza_N(eta, M, N, D, g, h, n, dx, dy, dt, nx, ny)

        D = eta + h
        
        conta = conta + 1
        
        if(conta == 10):
            
            plt.clf()
            fig = plt.figure(figsize=(10.,6.))

            # titulos
            plt.suptitle('Evolução da onda - forma disspitava - n = 20.0', fontsize=14)
            plt.title(f'Tempo: {round(dt*k, 3)} s', fontsize=10)

            fundo = plt.imshow(-h, 'Purples', interpolation = 'nearest', extent = limites)
            amp = plt.imshow(eta, extent = limites, interpolation = 'sinc', cmap = 'seismic', alpha= 0.75, vmin=-1.0, vmax= 1.0)
    
            plt.xlabel('x [m]')
            plt.ylabel('y [m]')
            cbar_amp = plt.colorbar(amp)
            cbar_fundo = plt.colorbar(fundo)
            cbar_fundo.set_label(r'$-h$ [m]')
            cbar_amp.set_label(r'$\eta$ [m]')
    
            conta = 0
            plt.show()
            plt.close()
                
    return eta, M, N

Exemplo 1 - Onda Confinada em uma Caixa

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de e em profundidade constante. O deslocamento do volume de água inicial é representado pela equação da Gaussiana. As condições de contorno deste problema são dadas de forma as paredes refletirem a massa do fluído.

# Define a região espacial
Lx = 100.0   
Ly = 100.0   

#define o número de pontos na direção x e y
px = 101     
py = 101     

#define o espaçamento entre os pontos mais próximos
dx = Lx / (px - 1)  
dy = Ly / (py - 1)  

# Localiza o número de pontos ao longo das direções x e y
x = np.linspace(0.0, Lx, num=px)
y = np.linspace(0.0, Ly, num=py)

# Plano de pontos do oceano definidos
X, Y = np.meshgrid(x,y) 

#profundidade do oceano h = 50 m
h = 50 * np.ones_like(X)

# Condição inicial da onda gerado pelo sísmo 
eta0 = 2. * np.exp(-((X-50)**2/10)-((Y-50)**2/10))

# Condição inicial dos fluxos de descarga
M0 = 0. * eta0
N0 = 100. * eta0

# constante da gravidade e de fricção
g = 9.81  
n = 20.0

Tmax = 5.
dt = 0.01
nt = (int)(Tmax/dt)


Exemplo 2.1 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Exemplo 2.2 - Tsunami Propagando-se em Direção a Praia

Simulação da propagação de uma onda em uma caixa de e em profundidade constante. O deslocamento do volume de água inicial é representado pela equação da Gaussiana. As condições de contorno deste problema são dadas de forma que as paredes refletem a massa do fluído.


Podemos observar que a medida que o fundo do oceano diminui sua profundidade a velocidade da onda também diminui, consequentemente a amplitude da onda aumenta. É observado também que para maiores comprimentos de onda da gaussiana, maior será a amplitude da onda ao chegar na praia.

Comparação entre Métodos

Onda confinada em uma caixa

Abaixo é mostrado o gráfico de evolução temporal da altura da onda em três pontos distintos do sistema (utilizando os mesmos parâmetros que foi aplicado ao método conservativo com a onda em uma caixa de profundidade constante em todos os outros métodos). Pode-se perceber que com o passar do tempo o movimento das duas equações começa a divergir, mesmo com o fator de fricção baixo.


Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo

Para o método 1D é de se esperar que exista menos interferências entre as ondas, pois só existe parede nos finais do sistema, além disso, a onda só precisa se espalhar em uma direção, então a sua amplitude é maior.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 2D e conservativo 1D

Também é possível perceber a diferença entre métodos observando apenas em uma direção (), por causa dos termos de fricção e viscosidade.

Comparação da evolução temporal da altura da onda nos métodos conservativo e dissipativo 1D

Referências

  1. HOW EARTHQUAKES TRIGGER TSUNAMIS-BBC. British Broadcasting Corporation. Disponível em: https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html
  2. SEGUR, Harvey; YAMAMOTO, Hiroki. Lecture 8: The Shallow-Water Equations.Disponível em: <https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html>
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule
  4. IMAMURA, Fumihiko.Tsunami Modelling Manual.Disponível em: http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf
  5. http://www.tsunami.civil.tohoku.ac.jp/hokusai3/J/projects/manual-ver-3.1.pdf
  6. LINSLEY, Ray K.; FRANZINI, Joseph B. Water Resources Engineering.
  7. GARCÍA-NAVARRO, P; et al. The shallow water equations: An example of hyperbolic system. Espanha: 2008. Disponível em: <https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.571.1364&rep=rep1&type=pdf>
  8. KUHBACHER, Christian. Shallow Water: Derivation and Applications. Disponível em: <http://www.mathematik.tu-dortmund.de/lsiii/cms/papers/Kuehbacher2009.pdf>
  9. KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb>