Mudanças entre as edições de "Equação de Águas Rasas"

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(Forma dissipativa 2D)
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=== Forma dissipativa 2D ===
 
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Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de <math> \eta </math>, <math> M </math>, <math> N </math>, onde as funções em python ''atualiza_eta'', ''atualiza_M'', e ''atualiza_N'' implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência <ref>KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb><\ref> foi usado como base.
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Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de <math> \eta </math>, <math> M </math>, <math> N </math>, onde as funções em python ''atualiza_eta'', ''atualiza_M'', e ''atualiza_N'' implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência <ref> KOEHN, Daniel. 2D Shallow Water Equations. Disponível em: <https://github.com/daniel-koehn/Differential-equations-earth-system/blob/master/10_Shallow_Water_Equation_2D/01_2D_Shallow_Water_Equations.ipynb> <\ref> foi usado como base.
  
  

Edição das 14h41min de 8 de outubro de 2021

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra


Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.


Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das Equações de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:


é a densidade; p é a pressão; é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; é o vetor aceleração da gravidade; é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por , no qual indica a direção e o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno [1] para a superfície e para a profundidade do oceano :

, onde

, onde


é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano não varia significativamente com o tempo e a posição.

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz [1], com os limites indo de até chegamos na seguinte expressão:

Teorema de Leibniz:

Substituindo as condições de contorno da profundidade (5) em (7) obtemos:

Substituindo a condição de contorno da superfície (4) em (9):

(10) é a primeira das equações das águas rasas que obtemos, onde é o comprimento da água total do fundo do oceano até a amplitude da onda. Podemos expressar (10) através do fluxo de descarga nas direções x e y, estás quantidades estão relacionadas com as velocidades da seguinte forma [1]:

Substituindo (11) e (12) em (10) chegamos na representação do fluxo de descarga para uma das equações de águas rasas.

Escrevendo as quantidades de movimento de Navier-Stokes nas componentes x,y e z:

Na componente z em (15) negligenciamos a aceleração das partículas, pois a aceleração da gravidade é muito maior. Também tomamos como nulos as componentes e em (14) e passamos a definir .

Resolvendo equação diferencial da componente z em (16) podemos obter a pressão, a qual é hidrostática.

Substituindo a pressão em (14):

Integrando a equação (18) em relação a componente z com os limites indo

Integrando a expressão (18), utilizando a regra da integral de Leibniz [1] e as condições de contorno (4) e (5), com os limites indo de até chegamos em outra das equações de águas rasas:

Generalizando a equação (18), para a componente y, obtemos a última das equações de águas rasas:

Na representação de fluxo de cargas as expressões (18) e (19) são apresentadas respectivamente como:

Iremos escrever as equações das águas rasas considerando o tensor de estresse . Os elementos deste tensor são responsáveis por causar nas partículas tensões tangenciais e perpendiculares, onde as tensões tangenciais são representadas por elementos onde , e as perpendiculares por elementos onde

Decompondo nas componentes x,y, e z de presente em (4):

Considerando o fluído Newtoniano, então as tensões de cisalhamento serão proporcionais a uma taxa de deformação, onde a constante de deformidade é a viscosidade.

Substituindo (25),(26) em (25), integrando em relação a componente z, utilizando a regra de Leibnz e as condições de contorno (3) e (4), obtemos:

Onde é a constante de viscosidade turbulenta, é uma força de resistividade relativa ao movimento do fluído com o fundo do oceano na direção x. Podemos negligenciar a constante de turbulência na situação em que não temos inclinações abrutas no fundo do mar. [1].

Considerando que o fluído é uniforme, então a expressão para é:

é o coeficiente de fricção, porém o coeficiente de rugosidade de Manning é mais usado, alguns valores deste coeficiente são:

  • Cimento puro e metal liso
  • Terra lisa
  • Pedras, ervas daninhas
  • Péssimo relevo de canal
  • Bom relevo de canal

O coeficiente de fricção e o de rugosidade de Meanning estão relacionados por:

Substituindo (30) em (29) obtemos:

Generalizando a expressão (31) para a componente y.

Adicionando, repectivamente, (31) e (32) nas expressões (20) e (21), obtemos as equações de águas rasas considerando as forças de fricção do fundo do oceano.

Forma Conservativa

Um modelo mais simples - desconsiderando a fricção, viscosidade do líquido e as forças de Coriolis sobre ele - pode ser obtido [2][3]. Para desenvolvê-lo são necessárias algumas premissas:

  • O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção
  • A aceleração na direção da velocidade na direção é zero
  • As componentes das velocidades em e em ( e ) não variam em


O sistema então pode ser descrito pelas seguintes equações:

Onde é a altura do fluido desde a base, são as velocidades médias na direções , é a constante gravitacional e é função que descreve a superfície onde acontece o movimento [1].

Forma dissipativa

As equações de águas rasas na forma não conservativa são dadas por (10),(33) e (34). Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas, onde realizamos derivadas centradas na região espacial, e para frente no região temporal. O erro de truncamento é de ordem na região espacial, enquanto na temporal é de ordem . O método é conhecido como leap-frog method devido a discretização central na região espacial.

Discretizando a expressão (10) pelo leap-frog method:

Discretizando a expressão (33) pelo leap-frog method:

Definindo as quantidades:

Das quantidades definidades e da derivada parcial do fluxo de descarga em relação ao tempo temos a respectiva avanço temporal para M:

Generalizando a expressão (43) para o fluxo de descarga N temos:

Simulações Computacionais de Tsunamis

Forma conservativa 2D

Para descrever numericamente o fenômeno foi utilizado discretização por diferenças finitas e o método pra frente no tempo e no espaço (FTCS). As equações discretizadas podem ser observadas abaixo.


Para os contornos foi utilizado que:

  • Nos contornos de x: , discretizando essa derivada temos que:
  • Nos contornos de y: , discretizando essa derivada temos que:

No desenvolvimento do programa não foi conseguido alcançar os resultados esperados, pois o sistema não converge: a velocidade aumenta e diminui infinitamente, fazendo com que a altura da onda aumente indefinidamente. O código foi escrito na linguagem Python, pois não conseguimos entender o erro.

Foi cosiderada uma superfície constante e, desta forma, suas derivadas são nulas e não interferem no cálculo.

Forma dissipativa 2D

Os exemplos que seguem utilizam as equações de ondas rasas (38),(43) e (44) para calcular os passos de tempo de , , , onde as funções em python atualiza_eta, atualiza_M, e atualiza_N implementam computacionalmente isto. Para implementar estas funções e outras ideias do nosso programa, o seguinte código fonte da referência [4]
Erro de citação: existem marcas <ref>, mas nenhuma marca <references/> foi encontrada