Mudanças entre as edições de "Equação de Águas Rasas"

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(Derivação das EQs. de Águas Rasas)
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<math> \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz =
 
<math> \int_{-h}^{\eta} \nabla . \mathbf{u} = \int_{-h}^{\eta} \Big(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\Big)dz =
         \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla  (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} </math>
+
         \frac{\partial}{\partial x} \int_{-h}^{\eta} u dz + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-h}^{\eta} v dz +w \Big |_{-h}^{\eta} + \mathbf{u} . \nabla  (z + h(x,y)) \Big |_{-h}^{\eta} -u \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} -v \Big |_{-h}^{\eta} \frac{\partial \eta}{\partial y} \qquad (7) </math>  
 
+
Teorema de Leibniz: 
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Teorema de Leibniz:
  
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<math>\frac{d}{dx} \left (\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)\,dt \right )= f\big(x,b(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} b(x) - f\big(x,a(x)\big)\cdot \frac{d}{dx} a(x) + \int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x} f(x,t) \,dt, \qquad (8)</math>
  
 
=== Forma Conservativa ===
 
=== Forma Conservativa ===

Edição das 03h56min de 8 de outubro de 2021

Em construção Grupo: Gabriel Schmökel, Julia Remus e Pedro Inocêncio Rodrigues Terra


Introdução

Tsunami é um fenômeno da natureza caracterizado por uma sucessão de ondas marinhas, que devido ao seu grande volume e alta velocidade, podem se tornar catastróficas ao atingir a costa. Sismos, erupções vulcânicas, deslizamentos de terra, impactos e outros movimentos submarinos são a causa para a formação deste evento, sendo a grande maioria provocado pelos movimentos das placas tectônicas.


Formação de um Tsunami

Vamos analisar a sequência de passos da formação de uma Tsunami formada a partir de um abalo sísmico:

I. A convergência das placas tectônicas, devido as correntes de convecção, faz com que existam forças de tensão entre as placas.

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A tensão entre as placas eventualmente ultrapassa o limite máximo, o que provoca o deslizamento brusco de uma das placas sobre a outra, gerando um grande deslocamento de volume de água na vertical. Como a tsunami ocorre em grandes profundidades, ela pode passar despercebida para um barco que navega nas proximidades, uma vez que amplitude da onda é menor.

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II. A onda gerada se propaga ao longo de todas as direções do plano da água.

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III. A medida que a onda se aproxima da superfície ela diminui sua velocidade e aumenta sua amplitude

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Temos o interesse de descrever fisicamente a propagação da Tsunami de acordo com a topografia da água e do mar, por essa razão não iremos estudar o efeito físico que causou o deslocamento do volume de água.

Teoria

Derivação das EQs. de Águas Rasas

Para obter as equações de águas rasas devemos partir da equação da continuidade e das equações da quantidade de movimento de Navier-Stokes:


é a densidade; p é a pressão; é o vetor velocidade do fluído, onde u,v e w são as velocidades das partículas que compõe o fluído nas direções x,y,z; é o vetor aceleração da gravidade; é o tensor tensão, onde as componentes deste tensor são as tensões normais e tangenciais de cisalhamento, expressas por , no qual indica a direção e o plano normal.

Introduzindo as condições de contorno [1] para a superfície e para a profundidade do oceano :

, onde

, onde


é o deslocamento vertical da água sobre a superfície em repouso, é o vetor velocidade do fluído nas direções horizontais x e y.

A equação da continuidade em (3) pode ser simplificada, já que a densidade do fluído no oceano não varia significativamente com o tempo e a posição.

Integrando a expressão da continuidade em (6), utilizando a regra da integral de Leibniz [1], com os limites indo de até chegamos na seguinte expressão:

Teorema de Leibniz:

Forma Conservativa

A partir das equações de conservação de momento e de massa, pode ser obtida as equações de águas rasas na forma conservativa. A forma conservativa da equação de águas rasas desconsidera a viscosidade do fluido e as tensões de cisalhamento aplicadas nele.

O desenvolvimento completo das equações está disponível na [1]. A conservação de massa é dada por:

Onde é a velocidade na direção , é a velocidade na direção e é a velocidade na direção .

Para a conservação do momento deve ser levado em conta três premissas:

  • O comprimento da onda é muito maior que as contribuições na direção
  • A aceleração na direção da velocidade é zero
  • O líquido é não viscoso
  • As velocidades e não variam em


Ao aproximar por diferenças finitas obtemos o sistema de equações discretizadas a seguir.

Resolvendo pelo método de FTCS (para frente no tempo) e ajustando aos limites de estabilidade, temos como resultado:

.... aqui gráfico ....


Para esse desenvolvimento encontramos algumas dificuldades para resolução do sistema de equações.

Referências

  1. 1,0 1,1 1,2 https://docplayer.net/49487265-Lecture-8-the-shallow-water-equations.html