Mudanças entre as edições de "Belousov-Zhabotinsky"

De Física Computacional
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== Oregonator ==
 
== Oregonator ==
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Oregonator é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.
  
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| || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P
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| || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P
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| || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z
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| align="right"|2 X
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| <math>\longrightarrow</math> || A + P
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| align="right" | B + Z
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| <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y
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== Método FTCS (Forward Time Centered Space) ==
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Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:
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| || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]  || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]  || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>  || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
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Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
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: <math>\frac{d [X]}{d\tau}=  k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
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: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
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: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}=  2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>
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A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
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| || || <math>x \equiv \tfrac{2k_{4}[X]}{k_{3}[Y]}</math>|| || || || || || || || <math>y \equiv \tfrac{k_{2}[X]}{k_{3}[A]}</math>  || || || || || || || || <math>z \equiv \tfrac{k_{5}k_{4}[B][Z]}{(k_{3}[A])^{2}}</math>  || || || || || || || || <math> t \equiv k_{5}[B] \tau</math>
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A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:
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| || || <math>\tfrac{dx}{dt} = \tfrac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}</math>|| || || || || || || || <math>\tfrac{dy}{dt} = \tfrac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}</math>  || || || || || || || || <math>\tfrac{dz}{dt} = x - z</math>
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon ’ \approx 10^{−5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y, portanto, <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> então as equações são reduzidos para:

Edição das 02h42min de 30 de março de 2021

Belousov-Zhabotinsky Reaction

A reação de Belousov-Zhabotinsky (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3 + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico (adicionar imagem da reação). A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

Oregonator

Oregonator é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.

A + Y X + P
X + Y 2 P
A + X 2 X + 2 Z
2 X A + P
B + Z Y

Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

v1 = k1 [A][Y] v2 = k2 [X][Y] v3 = k3 [A][X] v4 = k4 [X]2 v5 = k5 [B][Z]

Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:

A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:

Onde , e . Como parâmetro , é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y, portanto, então as equações são reduzidos para: