Mudanças entre as edições de "Belousov-Zhabotinsky"

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== Belousov-Zhabotinsky Reaction ==
 
== Belousov-Zhabotinsky Reaction ==
  
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A reação de Belousov-Zhabotinsky<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref> <ref name=Paper>HArzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO<sub>3</sub><sup>−</sup> + 5CH<sub>2</sub>(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 3H<sup>+</sup>  → 3BrCH(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 4CO<sub>2</sub> + 5H<sub>2</sub>O + 2CH<sub>2</sub>O<sub>2</sub>, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.
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A reação de Belousov-Zhabotinsky<ref name=Sayama260>H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.</ref> <ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO<sub>3</sub><sup>−</sup> + 5CH<sub>2</sub>(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 3H<sup>+</sup>  → 3BrCH(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 4CO<sub>2</sub> + 5H<sub>2</sub>O + 2CH<sub>2</sub>O<sub>2</sub>, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.
  
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[[Arquivo:BZReaction.gif|thumb|center|none|alt=Alt text|Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.|480px]]
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[[Arquivo:BZReaction.gif|thumb|center|none|alt=Alt text|Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.<ref name=BZGif>https://gfycat.com/uk/discover/belousov-zhabotinsky-reaction-gifs</ref>|480px]]
  
 
== Oregonator ==
 
== Oregonator ==
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Oregonator<ref name=Paper>HArzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.
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Oregonator<ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:
  
 
{|
 
{|
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  | || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P
+
  | || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y]
 
  |-
 
  |-
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  | || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P
+
  | || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]
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  |-
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  |-  
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  | || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z
+
  | || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]
 
  |-
 
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  | align="right"|2 X
 
  | align="right"|2 X
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  | <math>\longrightarrow</math> || A + P
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  | <math>\longrightarrow</math> || A + P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>
 
  |-
 
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  |
 
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  | align="right" | B + Z
 
  | align="right" | B + Z
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  | <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y
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  | <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
 
  |}
 
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Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:
+
 
 +
Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
  
 
{|
 
{|
−
  | || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y] || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]  || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>  || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
+
  | <math>\frac{d [X]}{d\tau}= k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
 +
  |-
 +
|  
 +
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| <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
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  |-
 +
|  
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 +
| <math>\frac{d [Z]}{d\tau}= 2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>
 
  |}
 
  |}
  
−
Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
 
  
−
: <math>\frac{d [X]}{d\tau}=  k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
 
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: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
 
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: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}=  2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>
 
  
 
A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
 
A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
Linha 46: Linha 51:
 
A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:
 
A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:
  
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{|
 
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| || || <math>\tfrac{dx}{dt} = \tfrac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}</math>|| || || || || || || || <math>\tfrac{dy}{dt} = \tfrac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}</math>  || || || || || || || || <math>\tfrac{dz}{dt} = x - z</math>
 
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|}
 
  
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>
+
 
−
, portanto, <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> então as equações são reduzidos para:
+
<math>
 +
\begin{cases}
 +
\frac{dx}{dt} = \frac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}\\
 +
\frac{dy}{dt} = \frac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}\\
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\frac{dz}{dt} = x - z\\
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\end{cases}
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</math>
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 +
 
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k_{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>, e seus respectivos valores típicos são <math>\epsilon \approx 10^{-2}</math>,<math>\epsilon ' \approx 10^{-5}</math> e <math>q \approx 10^{-4}</math>. Como o parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>:. Deste modo, as equações são reduzidas para <ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>:
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: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>
 
: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>
Linha 61: Linha 74:
 
: <math> \epsilon \frac{du}{dt}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>
 
: <math> \epsilon \frac{du}{dt}= u(1-u) + f\frac{q-u}{q+u}v + D_{u} \nabla^{2}u</math>
 
: <math>\frac{dv}{dt}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>
 
: <math>\frac{dv}{dt}= u-v + D_{v} \nabla^{2}v</math>
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== Implementação ==
 
== Implementação ==
Linha 85: Linha 95:
 
Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o <math> \Delta f(h,t) </math> ficará da seguinte forma:
 
Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o <math> \Delta f(h,t) </math> ficará da seguinte forma:
 
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}</math>
 
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}</math>
−
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f(x+dh,y,t)+f(x-dh,y,t)+f(x,y+dh,t)+f(x,y-dh,t)-4f(x,y,t)}{dh^{2}} </math>
+
:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f(x+dh,y,t)+f(x-dh,y,t)+f(x,y+dh,t)+f(x,y-dh,t)-4f(x,y,t)}{\Delta h^{2}} </math>
 
De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:
 
De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:
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:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{dh^{2}} </math>
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:<math>\nabla^{2}f(h,t) = \frac{f_{R}+f_{L}+f_{U}+f_{D}-4f_{C}}{\Delta h^{2}} </math>
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=== Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky ===
 
=== Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky ===
Linha 93: Linha 104:
  
  
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:<math> \epsilon \frac{u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)</math>
+
:<math> \epsilon \frac{u_{C}^{n+1} - u_{C}^{n}}{\Delta t}= u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+f_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)</math>
  
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:<math> u_{i,j}^{n+1} - u_{i,j}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>
+
:<math> u_{C}^{n+1} - u_{C}^{n}= \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>
  
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:<math> u_{i,j}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{Dh^{2}}\right)\right]\frac{Dt}{\epsilon}</math>
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:<math> u_{C}^{n+1} = u_{C} + \left[u_{C}(1-u_{C}) + f\frac{q-u_{C}}{q+u_{C}}v_{C} + D_{u} \left(\frac{u_{R}+u_{L}+u_{U}+u_{D}-4u_{C}}{\Delta h^{2}}\right)\right]\frac{\Delta t}{\epsilon}</math>
  
  
Linha 103: Linha 114:
  
  
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:<math> \frac{v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}}{Dt}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}}\right) </math>
+
:<math> \frac{v_{C}^{n+1} - v_{C}^{n}}{\Delta t}= u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}}\right) </math>
  
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:<math> v_{i,j}^{n+1} - v_{i,j}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>
+
:<math> v_{C}^{n+1} - v_{C}^{n}= \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>
  
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:<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{Dh^{2}} \right)\right] Dt </math>
+
:<math> v_{C}^{n+1} = v_{C} + \left[ u_{C}-v_{C} + D_{v} \left(\frac{v_{R}+v_{L}+v_{U}+v_{D}-4v_{C}}{\Delta h^{2}} \right)\right] \Delta t </math>
  
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== teste  ==
 
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condições iniciais
 
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<math> u_{i,j}^{0} = 1 </math>  se 0 < 8(0.01i - 0.5) < (0.01j - 0.5)  senão  = 0
 
−
 
−
<math> v_{i,j}^{0} = 1 </math>  se 0 < -(0.01j - 0.5) < 8(0.01i - 0.5)  senão  = 0
 
−
 
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−
<math>  u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} + \frac{(u_{i,j}^{n}( 1 - u_{i,j}^{n}) - fv_{i,j}^{n}(u_{i,j}^{n} - q)}{(u_{i,j}^{n} + q) + \Delta u(\frac{(u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n})}{Dh^2})}\frac{dt}{e} </math>
 
−
 
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<math> v_{i,j}^{n+1} = v_{i,j}^{n} + (u_{i,j}^{n} - v_{i,j}^{n} + \Delta v (\frac{(v_{i+1,j}^{n} + v_{i-1,j}^{n} + v_{i,j+1}^{n} + v_{i,j-1}^{n} - 4v_{i,j}^{n})}{Dh^2})dt </math>
 
  
 
== Resultados ==
 
== Resultados ==
Linha 134: Linha 125:
  
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
−
!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 1.0e^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
+
!colspan="3"|Analise da concentração de u com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
 
|-
 
|-
−
|[[Arquivo:U20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> u  </math> até t = 20k.|500px]]
+
|[[Arquivo:U00000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 0.|300px]]
−
|[[Arquivo:V20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> v </math> até t = 20k.|500px]]
+
|[[Arquivo:U12000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 12000.|300px]]
 +
|[[Arquivo:U25000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 25000.|300px]]
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|-
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|[[Arquivo:U38000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 38000.|300px]]
 +
|[[Arquivo:U50000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 50000.|300px]]
 +
|[[Arquivo:U63000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 63000.|300px]]
 
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|[[Arquivo:U75000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 75000.|300px]]
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|[[Arquivo:U88000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 88000.|300px]]
 +
|[[Arquivo:U100000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|t = 100000.|300px]]
 +
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{| class="wikitable" style="text-align: center;"
 
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
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!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 1.0e^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
+
!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
 
|-
 
|-
−
|[[Arquivo:U90000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> u  </math> t = 90k.|500px]]
+
|[[Arquivo:U20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> u  </math> até t = 20k.|500px]]
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|[[Arquivo:V90000.png|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> v </math>   t = 90k.|500px]]
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|[[Arquivo:V20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> v </math> até t = 20k.|500px]]
 
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== Programas Utilizados ==
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[[Simulaçao Belousov-Zhabotinsky]]
  
 
== Referências ==
 
== Referências ==

Edição atual tal como às 03h18min de 8 de abril de 2021

Belousov-Zhabotinsky Reaction

A reação de Belousov-Zhabotinsky[1] [2] (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3− + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

Alt text
Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.[3]

Oregonator

Oregonator[2] é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

A + Y X + P v1 = k1 [A][Y]
X + Y 2 P v2 = k2 [X][Y]
A + X 2 X + 2 Z v3 = k3 [A][X]
2 X A + P v4 = k4 [X]2
B + Z Y v5 = k5 [B][Z]


Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:


A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:



Onde , e , e seus respectivos valores típicos são , e . Como o parâmetro (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que é sempre determinado pelos valores instantâneos de e , e assim, reescrevemos y como :. Deste modo, as equações são reduzidas para [4]:



Dessa forma, o modelo de Oregonator mostra a forma típica de um sistema de feedback químico, ou seja, a variável x, que será reescrito como u, funciona como um ativador, enquanto a variável z, que será reescrita como v, tem o papel de inibidor. Se para as equações termos associados à difusão são adicionados, onde Du e Dv são os coeficientes de difusão adimensionais, e é o operador Laplaciano, então, o sistema torna-se:

Implementação

Antes de discretizarmos a equação para que assim possamos utiliza-la em um código, explicaremos brevemente métodos e fórmulas utilizados para isso.

Método FTCS (Forward Time Centered Space)[5]

De modo a resolver numericamente as equações descritas acima, serão utilizado o método FTCS (Forward Time Centered Space), que consiste em um método para resolver equações parciais através da derivada parcial de primeira ordem no tempo por uma diferença finita e progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço por uma diferença centrada, como vemos logo abaixo:


Laplaciano

O Laplaciano pode tanto ser representado por quanto por . O laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja

Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o ficará da seguinte forma:

De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:


Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky

Considerando a equação :



Considerando a equação :



Resultados

Analise da concentração de u com
Alt text
t = 0.
Alt text
t = 12000.
Alt text
t = 25000.
Alt text
t = 38000.
Alt text
t = 50000.
Alt text
t = 63000.
Alt text
t = 75000.
Alt text
t = 88000.
Alt text
t = 100000.


BZ com
Alt text
BZ da concentração de até t = 20k.
Alt text
BZ da concentração de até t = 20k.

Programas Utilizados

Simulaçao Belousov-Zhabotinsky

Referências

  1. ↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. ↑ 2,0 2,1 Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190
  3. ↑ https://gfycat.com/uk/discover/belousov-zhabotinsky-reaction-gifs
  4. ↑ http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4
  5. ↑ https://pt.wikipedia.org/wiki/Esquema_FTCS
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