Mudanças entre as edições de "Belousov-Zhabotinsky"

De Física Computacional
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!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
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!colspan="3"|Analise da concentração de u com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
 
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|[[Arquivo:V20k.gif|thumb|upright=4|none|alt=Alt text|BZ da concentração de <math> v </math> até t = 20k.|500px]]
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!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
 
!colspan="2"|BZ com <math>(e, q, f) = (0.2, 10^{-3}, 1)</math>  <math>(D_u, D_v) = (10^{-5}, 10^{-5} )</math>
 
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== Programas Utilizados ==
 
== Programas Utilizados ==

Edição das 06h35min de 7 de abril de 2021

Belousov-Zhabotinsky Reaction

A reação de Belousov-Zhabotinsky[1] [2] (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3 + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

Alt text
Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.[3]

Oregonator

Oregonator[2] é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

A + Y X + P v1 = k1 [A][Y]
X + Y 2 P v2 = k2 [X][Y]
A + X 2 X + 2 Z v3 = k3 [A][X]
2 X A + P v4 = k4 [X]2
B + Z Y v5 = k5 [B][Z]


Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:


A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:



Onde , e , e seus respectivos valores típicos são , e . Como o parâmetro (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que é sempre determinado pelos valores instantâneos de e , e assim, reescrevemos y como :. Deste modo, as equações são reduzidas para [4]:



Dessa forma, o modelo de Oregonator mostra a forma típica de um sistema de feedback químico, ou seja, a variável x, que será reescrito como u, funciona como um ativador, enquanto a variável z, que será reescrita como v, tem o papel de inibidor. Se para as equações termos associados à difusão são adicionados, onde Du e Dv são os coeficientes de difusão adimensionais, e é o operador Laplaciano, então, o sistema torna-se:

Implementação

Antes de discretizarmos a equação para que assim possamos utiliza-la em um código, explicaremos brevemente métodos e fórmulas utilizados para isso.

Método FTCS (Forward Time Centered Space)[5]

De modo a resolver numericamente as equações descritas acima, serão utilizado o método FTCS (Forward Time Centered Space), que consiste em um método para resolver equações parciais através da derivada parcial de primeira ordem no tempo por uma diferença finita e progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço por uma diferença centrada, como vemos logo abaixo:


Laplaciano

O Laplaciano pode tanto ser representado por quanto por . O laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja

Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o ficará da seguinte forma:

De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:


Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky

Considerando a equação :



Considerando a equação :



Resultados

Analise da concentração de u com
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t = 0.
Alt text
t = 12000.
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t = 25000.
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t = 38000.
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t = 50000.
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t = 63000.
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t = 75000.
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t = 88000.
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t = 100000.


BZ com
Alt text
BZ da concentração de até t = 20k.
Alt text
BZ da concentração de até t = 20k.

Programas Utilizados

Simulaçao Belousov-Zhabotinsky

Referências

  1. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. 2,0 2,1 Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190
  3. https://gfycat.com/uk/discover/belousov-zhabotinsky-reaction-gifs
  4. http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4
  5. https://pt.wikipedia.org/wiki/Esquema_FTCS