Mudanças entre as edições de "Belousov-Zhabotinsky"

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== Oregonator ==
 
== Oregonator ==
Oregonator<ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.
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Oregonator<ref name=Paper>Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190 </ref> é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:
  
 
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  | || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P
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  | || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y]
 
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  | || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P
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  | || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]
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  | || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z
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  | || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]
 
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  | align="right"|2 X
 
  | align="right"|2 X
  | <math>\longrightarrow</math> || A + P
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  | <math>\longrightarrow</math> || A + P || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>
 
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  | align="right" | B + Z
 
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  | <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y
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  | <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y || || || || || || || || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
 
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Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:
 
 
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| || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] || || ||, || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]  || || ||, || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]  || || ||, || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>  || || ||, || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z].
 
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Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
 
Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>
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, portanto, <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> então as equações são reduzidos para:
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math> (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que <math>y(h,t)</math> é sempre determinado pelos valores instantâneos de <math>x</math> e <math>z</math>, e assim, reescrevemos y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref> como <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math>. Deste modo, as equações são reduzidas para:
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: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>
 
: <math> \epsilon \frac{dx}{dt}= x(1-x) + f\frac{q-x}{q+x}z </math>

Edição das 03h28min de 7 de abril de 2021

Belousov-Zhabotinsky Reaction

A reação de Belousov-Zhabotinsky[1] [2] (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3 + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

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Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.[3]

Oregonator

Oregonator[2] é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f é o coeficiente estequiométrico. Observamos também. suas respectivas equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

A + Y X + P v1 = k1 [A][Y]
X + Y 2 P v2 = k2 [X][Y]
A + X 2 X + 2 Z v3 = k3 [A][X]
2 X A + P v4 = k4 [X]2
B + Z Y v5 = k5 [B][Z]


Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:


A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:



Onde , e . Como parâmetro (que é obtido através de reações experimentais), é possível ver que y muda na escala do tempo de forma muito mais rápida que as demais variaveis, e então, assumimos que é sempre determinado pelos valores instantâneos de e , e assim, reescrevemos y[4] como . Deste modo, as equações são reduzidas para:



Dessa forma, o modelo de Oregonator mostra a forma típica de um sistema de feedback químico, ou seja, a variável x, que será reescrito como u, funciona como um ativador, enquanto a variável z, que será reescrita como v, tem o papel de inibidor. Se para as equações termos associados à difusão são adicionados, onde Du e Dv são os coeficientes de difusão adimensionais, e é o operador Laplaciano, então, o sistema torna-se:

Implementação

Antes de discretizarmos a equação para que assim possamos utiliza-la em um código, explicaremos brevemente métodos e fórmulas utilizados para isso.

Método FTCS (Forward Time Centered Space)[5]

De modo a resolver numericamente as equações descritas acima, serão utilizado o método FTCS (Forward Time Centered Space), que consiste em um método para resolver equações parciais através da derivada parcial de primeira ordem no tempo por uma diferença finita e progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço por uma diferença centrada, como vemos logo abaixo:


Laplaciano

O Laplaciano pode tanto ser representado por quanto por . O laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja

Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o ficará da seguinte forma:

De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:


Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky

Considerando a equação :



Considerando a equação :



Resultados

BZ com
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BZ da concentração de até t = 20k.
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BZ da concentração de até t = 20k.


BZ com
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BZ da concentração de com t = 90k.
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BZ da concentração de com t = 90k.


Programas Utilizados

Simulaçao Belousov-Zhabotinsky

Referências

  1. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. 2,0 2,1 Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190
  3. https://gfycat.com/uk/discover/belousov-zhabotinsky-reaction-gifs
  4. http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4
  5. https://pt.wikipedia.org/wiki/Esquema_FTCS