Mudanças entre as edições de "Belousov-Zhabotinsky"

De Física Computacional
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  | || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]  || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]  || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>  || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
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Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
 
Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:
  
: <math>\frac{d [X]}{d\tau}=  k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
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: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
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| <math>\frac{d [X]}{d\tau}=  k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}=  2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>
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| <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
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A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
 
A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:
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A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:
 
A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:
  
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| || || <math>\tfrac{dx}{dt} = \tfrac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}</math>|| || || || || || || || <math>\tfrac{dy}{dt} = \tfrac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}</math>  || || || || || || || || <math>\tfrac{dz}{dt} = x - z</math>
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\begin{cases}
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\frac{dx}{dt} = \frac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}\\
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\frac{dy}{dt} = \frac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}\\
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\frac{dz}{dt} = x - z\\
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\end{cases}
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Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>
 
Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon' \approx 10^{-5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y<ref name=Oreg>http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4</ref>

Edição das 21h20min de 6 de abril de 2021

Belousov-Zhabotinsky Reaction

A reação de Belousov-Zhabotinsky[1] [2] (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO3 + 5CH2(CO2H)2 + 3H+ → 3BrCH(CO2H)2 + 4CO2 + 5H2O + 2CH2O2, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico. A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

Alt text
Reação de Belousov-Zhabotinsky em uma placa de Petri.

Oregonator

Oregonator[2] é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO3 -, B = 5CH2(COOH)2; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)2 (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO2; Y = Br-; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.

A + Y X + P
X + Y 2 P
A + X 2 X + 2 Z
2 X A + P
B + Z Y

Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e ki corresponde às constantes de taxa de reação:

v1 = k1 [A][Y] , v2 = k2 [X][Y] , v3 = k3 [A][X] , v4 = k4 [X]2 , v5 = k5 [B][Z].

Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:


A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:



Onde , e . Como parâmetro , é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y[3] , portanto, então as equações são reduzidos para:


Dessa forma, o modelo de Oregonator mostra a forma típica de um sistema de feedback químico, ou seja, a variável x, que será reescrito como u, funciona como um ativador, enquanto a variável z, que será reescrita como v, tem o papel de inibidor. Se para as equações termos associados à difusão são adicionados, onde Du e Dv são os coeficientes de difusão adimensionais, e é o operador Laplaciano, então, o sistema torna-se:

Implementação

Antes de discretizarmos a equação para que assim possamos utiliza-la em um código, explicaremos brevemente métodos e fórmulas utilizados para isso.

Método FTCS (Forward Time Centered Space)[4]

De modo a resolver numericamente as equações descritas acima, serão utilizado o método FTCS (Forward Time Centered Space), que consiste em um método para resolver equações parciais através da derivada parcial de primeira ordem no tempo por uma diferença finita e progressiva e a derivada parcial de segunda ordem no espaço por uma diferença centrada, como vemos logo abaixo:


Laplaciano

O Laplaciano pode tanto ser representado por quanto por . O laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja

Como o código para Belousov-Zhabotinsky terá apenas 2 dimensões o ficará da seguinte forma:

De modo a simplificar a expressão para analises posteriores, reescreveremos desta forma, considerando uma analise 2D:


Aplicação dos Métodos para a Reação de Belousov-Zhabotinsky

Considerando a equação :



Considerando a equação :



Resultados

BZ com
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BZ da concentração de até t = 20k.
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BZ da concentração de até t = 20k.


BZ com
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BZ da concentração de com t = 90k.
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BZ da concentração de com t = 90k.


Programas Utilizados

Simulaçao Belousov-Zhabotinsky

Referências

  1. H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
  2. 2,0 2,1 Harzola-Flores J.A., García E., Rojas J.F, Spatial and temporal dynamics of Belousov-Zhabotinsky reaction: A STEM approach (2020), Revista Mexicana de Física E 17 (2) 178–190
  3. http://www.scholarpedia.org/article/Oregonator#Eq-4
  4. https://pt.wikipedia.org/wiki/Esquema_FTCS