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== Belousov-Zhabotinsky Reaction ==

A reação de Belousov-Zhabotinsky (BZ) consiste em uma família de reações químicas oscilatórias descobertas inicialmente por Belousov, e posteriormente analisadas por Zhabotinsky. A reação consiste em 3BrO<sub>3</sub><sup>−</sup> + 5CH<sub>2</sub>(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 3H<sup>+</sup>  → 3BrCH(CO<sub>2</sub>H)<sub>2</sub> + 4CO<sub>2</sub> + 5H<sub>2</sub>O + 2CH<sub>2</sub>O<sub>2</sub>, e demonstra um comportamento oscilatório não linear até atingir o equilíbrio químico (adicionar imagem da reação). A interação entre a reação e a difusão dos produtos químicos no espaço resultará na auto-organização de ondas viajantes dinâmicas. Seu mecanismo original, foi descrito através de 27 espécies químicas e um total de 80 reações.

== Oregonator ==
Oregonator é um modelo matemático utilizado para descrever de forma mais simples a dinâmica da reação BZ, desenvolvido por Field e Noyes (1974). Foi um modelo não espacial originalmente composto por três variáveis de estado, onde posteriormente, vemos que tornam-se apenas duas. O mecanismo é, inicialmente composto por cinco etapas irreversíveis, onde, A = 3BrO<sub>3</sub> <sup>-</sup>, B = 5CH<sub>2</sub>(COOH)<sub>2</sub>; 2HCOOH, 3BrCH(COOH)<sub>2</sub> (no geral, estas e demais espécies orgânicas); P = HOBr; X = HBrO<sub>2</sub>; Y = Br<sup>-</sup>; Z = forma oxidada do catalisador e f = Coeficiente estequiométrico.

{|
 | || || A + Y || <math>\longrightarrow</math> || X + P
 |-
 | || || X + Y || <math>\longrightarrow</math> || 2 P
 |-
 | || || A + X || <math>\longrightarrow</math> || 2 X  + 2 Z
 |-
 | 
 |
 | align="right"|2 X
 | <math>\longrightarrow</math> || A + P
 |-
 |
 |
 | align="right" | B + Z
 | <math>\longrightarrow</math> || <math>\frac{1}{2}f</math> Y
 |}

Aplicando, então, as equações de taxa, onde v é a taxa da reação e k<sub>i</sub> corresponde às constantes de taxa de reação:

{|
 | || || v<sub>1</sub> = k<sub>1</sub> [A][Y] || || || || || || || || v<sub>2</sub> = k<sub>2</sub> [X][Y]  || || || || || || || || v<sub>3</sub> = k<sub>3</sub> [A][X]  || || || || || || || || v<sub>4</sub> = k<sub>4</sub> [X]<sup>2</sup>  || || || || || || || || v<sub>5</sub> = k<sub>5</sub> [B][Z]
 |}

Para construir o modelo Oregonator, é necessário supor que as concentrações de A e B permaneçam constantes (estão associadas às concentrações iniciais dos precursores). Posteriormente, deve-se aplicar as técnicas padrão de cinética química para obter o modelo dinâmico considerando X, Y e Z como variáveis dinâmicas, assumindo que as reações químicas são elementares, ou seja, os coeficientes estequiométricos coincidem com a potência das variáveis dinâmicas. Considerando <math>\tau</math> como o tempo, vemos as seguintes equações de velocidade:

: <math>\frac{d [X]}{d\tau}=  k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + k_{3} [A] [X] - 2k_{4} [X]^2 </math>
: <math>\frac{d [Y]}{d\tau}= -k_1 [A] [Y] - k_{2} [X] [Y] + \frac{1}{2}f k_5 [B] [Z]</math>
: <math>\frac{d [Z]}{d\tau}=  2k_{3} [A] [X] - k_5 [B] [Z] </math>

A análise é simplificada convertendo essas equações em uma forma adimensional:

{|
 | || || <math>x \equiv	\tfrac{2k_{4}[X]}{k_{3}[Y]}</math>|| || || || || || || || <math>y \equiv \tfrac{k_{2}[X]}{k_{3}[A]}</math>  || || || || || || || || <math>z \equiv	 \tfrac{k_{5}k_{4}[B][Z]}{(k_{3}[A])^{2}}</math>  || || || || || || || || <math> t \equiv k_{5}[B] \tau</math>
 |}

A partir de operações algébricas com as equações acima, obtemos para x, y e z, o seguinte sistema de equações diferenciais não lineares:

{|
 | || || <math>\tfrac{dx}{dt} = \tfrac{qy - xy + x(1-x)}{\epsilon}</math>|| || || || || || || || <math>\tfrac{dy}{dt} = \tfrac{-qy - xy + fz}{\epsilon '}</math>  || || || || || || || || <math>\tfrac{dz}{dt} = x - z</math>
 |}

Onde <math>\epsilon \equiv \tfrac{k_{5}[B]}{k-{3}[A]}</math>, <math> \epsilon ' \equiv \tfrac{2k_{4}k_{5}[B]}{k_{2}k_{3}[A]}</math> e <math>q \equiv \tfrac{2k_{4}k_{1}}{k_{2}k_{3}}</math>. Como parâmetro <math>\epsilon ’ \approx 10^{−5}</math>, é possível considerar a aproximação do estado estacionário da variável y, portanto, <math>y \equiv \tfrac{fz}{q+x}</math> então as equações são reduzidos para:




== teste ==

 <math>  u_{i,j}^{n+1} = u_{i,j}^{n} + \frac{(u_{i,j}^{n}( 1 - u_{i,j}^{n}) - fv_{i,j}^{n}(u_{i,j}^{n} - q)}{(u_{i,j}^{n} + q) + \nabla u\frac{(u_{i+1,j}^{n} + u_{i-1,j}^{n} + u_{i,j+1}^{n} + u_{i,j-1}^{n} - 4u_{i,j}^{n})}{Dh^2}}\frac{dt}{e} </math>