Mudanças entre as edições de "Algoritmo de Wang-Landau"
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Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica <math>g(E) e^{-E/k_B T}</math> a uma dada temperatura <math>T</math>, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados <math>g(E)</math> diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia <math>H(E)</math>. | Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica <math>g(E) e^{-E/k_B T}</math> a uma dada temperatura <math>T</math>, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados <math>g(E)</math> diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia <math>H(E)</math>. | ||
− | == | + | ==Amostragem de Wang-Landau== |
No início da simulação, <math>g(E)</math> é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir <math>g(E) = 1</math> para todas as energias possíveis <math>E</math>. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado. | No início da simulação, <math>g(E)</math> é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir <math>g(E) = 1</math> para todas as energias possíveis <math>E</math>. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado. | ||
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onde <math>1 / g (E1)</math> é a probabilidade na energia <math>E_1</math> e <math>p (E_1\rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição de <math>E_1</math> para <math>E_2</math>. | onde <math>1 / g (E1)</math> é a probabilidade na energia <math>E_1</math> e <math>p (E_1\rightarrow E_2)</math> é a probabilidade de transição de <math>E_1</math> para <math>E_2</math>. | ||
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+ | Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como: | ||
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+ | 1. Seto <math>g(E) = 1</math> e um fator de modificação <math>f=e</math>; | ||
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+ | 2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade <math> p(E_1 \to E_2) = min(g(E_1)/g(E_2), 1) </math>; | ||
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+ | 3. Modifico a densidade de estados <math> g(E) \to g(E) \times f </math> e atualizo o histograma <math>H(E)</math>; | ||
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+ | 4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de <math>f</math> e reseto o valor de <math>H(E)</math>; | ||
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+ | 5. Repito 2-4 até <math> \ln f \approx 1 </math>. | ||
==Aplicação ao Modelo de Ising 2D== | ==Aplicação ao Modelo de Ising 2D== | ||
====Modelo de Ising==== | ====Modelo de Ising==== | ||
+ | Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo. | ||
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+ | Cada sítio pode ter o valor de spin <math>+1</math> ou <math>-1</math>. | ||
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+ | O hamiltoniano pode ser calculado por | ||
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+ | <math> \mathcal{H} = -J \sum_{\langle ij \rangle}\sigma_i \sigma_j </math> | ||
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+ | A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para <math>J>0</math> e antiferromagnética para <math>J<0</math>. | ||
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====Implementação==== | ====Implementação==== | ||
====Resultados==== | ====Resultados==== |
Edição das 14h44min de 28 de novembro de 2021
Índice
Introdução
Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica a uma dada temperatura
, a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados
diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia
.
Amostragem de Wang-Landau
No início da simulação, é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir
para todas as energias possíveis
. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado.
Cada vez que uma energia é visitada, a entrada correspondente em
é incrementada em 1. A estimativa de
é então modificada por um fator multiplicativo
, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de
.
Se e
são energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia
para
é
A razão das probabilidades de transição de para
e de
a
podem ser calculados como
Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:
onde é a probabilidade na energia
e
é a probabilidade de transição de
para
.
Algoritmo
Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:
1. Seto e um fator de modificação
;
2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade ;
3. Modifico a densidade de estados e atualizo o histograma
;
4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de e reseto o valor de
;
5. Repito 2-4 até .
Aplicação ao Modelo de Ising 2D
Modelo de Ising
Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo.
Cada sítio pode ter o valor de spin ou
.
O hamiltoniano pode ser calculado por
A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para e antiferromagnética para
.