Mudanças entre as edições de "Algoritmo de Wang-Landau"

De Física Computacional
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(Fator de modificação)
(Algoritmo)
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3. Modifico a densidade de estados <math> g(E) \to g(E) \times f </math> e atualizo o histograma <math>H(E)</math>;
 
3. Modifico a densidade de estados <math> g(E) \to g(E) \times f </math> e atualizo o histograma <math>H(E)</math>;
  
4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de <math>\ln f</math> pela metade e reseto o histograma <math>H(E)</math>;
+
4. Continuo até o histograma estar plano, então diminuo o valor de <math>f</math>, fazendo <math> f_1 = \sqrt{f_0} </math> e reseto o histograma <math>H(E)</math>;
  
 
5. Repito os passos 2-4 até <math> f < 1.00000001 </math>.
 
5. Repito os passos 2-4 até <math> f < 1.00000001 </math>.

Edição das 18h01min de 4 de dezembro de 2021

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica a uma dada temperatura , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia . [1]

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados não pode ser determinada para sistemas maiores [2]. Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a a partir de um passeio aleatório. A estimativa para é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir para todas as energias possíveis . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado (single-spin flip).

Cada vez que uma energia é visitada, o histograma é incrementado em 1. A estimativa de é então modificada por um fator multiplicativo , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de .

Se e são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia para é dada por

A razão das probabilidades de transição de para e de a podem ser calculados como

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o balanço detalhado no limite em que :

onde é a probabilidade na energia e é a probabilidade de transição de para .

Se o estado de energia é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação de maneira que e a entrada no histograma para é atualizada de forma . Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação, e é atualizada de forma .

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma estar plano (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada iterações verificamos se todos valores possíveis de estão a uma distância, no máximo, de . A variável é denominada "flatness". Quando o histograma está plano, todos estados de energia foram visitados muitas vezes.

O número de passos, que devemos realizar antes de checar deve ser maior que onde indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado várias vezes.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, . Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por . O valor comumente utilizado para o fator de modificação é .

Quando o histograma é considerado plano, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de de forma que o novo valor será , resetamos o histograma e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de predeterminado. No caso, usamos .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo[3] Cada sítio pode ter o valor de spin ou .

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por onde indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

Calor específico:

Energia livre de Helmoltz:

Entropia:

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino para todos e o fator de modificação inicial ;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade ;

3. Modifico a densidade de estados e atualizo o histograma ;

4. Continuo até o histograma estar plano, então diminuo o valor de , fazendo e reseto o histograma ;

5. Repito os passos 2-4 até .

6. Obtendo a , posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Resultados

Densidade de estados

A estimativa da densidade de estados para usando a amostragem de Wang-Landau é mostrada na Fig. 1, junto com os resultados exatos de Beale [2].

Os fatores de modificação inicial e final para os passeios aleatórios foram .

O histograma foi considerado plano quando todas as entradas não eram inferiores a 80% da média .

A densidade absoluta de estados na Fig. 1 é obtida pela condição de que o número de estados fundamentais seja 2 para o modelo de Ising 2D.

Com a escala logarítmica usada na Fig. 1, os dados simulados e a solução exata se sobrepõem perfeitamente. Na inserção da Fig. 1, vemos que o erro relativo é, de fato, muito pequeno.

Figura 1: Logaritmo da densidade de estados do modelo de Ising 2D com .

Distribuição canônica

Podemos calcular a distribuição canônica usando a equação a qualquer temperatura, sem a necessidade de realizar várias simulações.

Na Fig. 2, mostramos a distribuição canônica resultante na temperatura crítica , que exibe um único pico.

Figura 2: Distribuição canônica na temperatura de transição do modelo de Ising 2D com e .

As distribuições em temperaturas acima e abaixo de também apresentam pico único, conforme ilustrado no detalhe da Fig. 3.


Figura 3: Distribuição canônica nas temperaturas e do modelo de Ising 2D com .

Quantidades termodinâmicas

Os resultados simulados, calculados diretamente com as equações descritas no capítulo anterior, e as soluções exatas se sobrepõem quase perfeitamente em uma ampla região de temperatura de .

Testes mais rigorosos de precisão são fornecidos a partir dos erros relativos para as respectivas quantidades termodinâmicas. Os erros relativos são muito pequenos para toda a região de temperatura de .

Como o sistema tem uma transição de fase de segunda ordem, a primeira derivada da energia livre é uma função contínua da temperatura. Não há saltos na energia interna ou na entropia, mesmo no limite, pois o tamanho do sistema vai para o infinito.

Figura 4: Quantidades termodinâmicas do modelo de Ising 2D com calculado a partir da densidade de estados . Na figura, estão mostrados: (a) energia interna, (b) calor específico, (c) energia livre de Helmholtz e (d) entropia. Os gráficos inset são os erros relativos.

Código

from scipy import *
import sys
import numpy as np
from pylab import *
from matplotlib import pyplot as plt

#Rede aleatória para Ising 2D
def redeAleatoria(L):
    latt=zeros((L,L),dtype=int)
    for i in range(L):
        for j in range(L):
            latt[i,j]=sign(2*rand()-1)
    return latt
    
#Energia da rede
def energia(latt):
    Ene=0
    for i in range(L):
        for j in range(L):
            S=latt[i,j]
            WF=latt[(i+1)%L,j]+latt[i,(j+1)%L]+latt[(i-1)%L,j]+latt[i,(j-1)%L]
            Ene+=-WF*S
    return int(Ene/2.)
    
#Quantidades termodinâmicas usando a densidade de estados
def quantTermod(T,lngE,Energies,E0):
    Z=0
    Ev=0
    E2v=0
    for i,E in enumerate(Energies):
        w=exp(lngE[i]-E/T)
        Z+=w
        Ev+=w*E
        E2v+=w*E**2
    Ev*=1./Z
    cv=(E2v/Z-Ev**2)/T**2
    F = -T*np.log(Z)
    S = (Ev - F)/T
    return (Ev/N,cv/N,F/N,S/N)
    
#Algoritmo de Wang-Landau
def WangLandau(L,N,indices,E0,flatness,fmin):
    latt=redeAleatoria(L)
    Ene=energia(latt)
    lngE=zeros(len(Energies),dtype=float)
    Hist=zeros(len(Energies),dtype=float)
    lnf=1.0
    itt = 0
    while exp(lnf) > fmin:
        itt = itt + 1
        ii=int(rand()*N)       
        (i,j)=(ii%L,ii/L) 
        i=int(rand()*L)
        j=int(rand()*L)
        S=latt[i,j] 
        WF=latt[(i+1)%L,j]+latt[i,(j+1)%L]+latt[(i-1)%L,j]+latt[i,(j-1)%L]
        Enew=Ene+2*S*WF
        P=exp(lngE[indices[Ene+E0]]-lngE[indices[Enew+E0]])
        if P>rand():   
            latt[i,j]=-S        
            Ene=Enew       
        Hist[indices[Ene+E0]]+=1.
        lngE[indices[Ene+E0]]+=lnf
        if itt%1000==0:
            aH=sum(Hist)/(N) 
            mH=min(Hist)          
            if mH>aH*flatness:  
                Hist=zeros(len(Hist)) 
                lnf/=2.             
                print("iteracao =", itt, 'f=', exp(lnf))
    return lngE,Hist
    


fmin = 1.00000001
print(fmin)
L=16
flatness=0.8
N=L*L

# energias possiveis
Energies = (4*arange(N+1)-2*N).tolist()
print(Energies)
Energies.pop(1)   
Energies.pop(-2)
E0=Energies[-1]
print(Energies)                      
indices=-ones(E0*2+1,dtype=int)

for i,E in enumerate(Energies):
  indices[E+E0]=i

(lngE, Hist) = WangLandau(L, N, indices, E0, flatness, fmin)

Hist *= len(Hist)/sum(Hist)

len(lngE),len(Hist)

from pylab import *
EE=array(Energies);EE=EE/(L*L)
plt.plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
#plt.plot(EE,Hist,'-s',markersize=2.0,label='Histogram')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

f=open('bealeL16.dat','r');f=f.readlines()

beale=[]
for i in range(len(f)):
  beale.append(float(f[i]))

plt.plot(Energies,beale,label='Exata')
xlabel('Energia')
ylabel('ln[g(E)]')
legend(loc='best')
show()

plt.plot(EE,beale,label='Exata')
plt.plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
xlabel(r'$E/N$')
ylabel(r'$ln[g(E)]$')
legend(loc='best')
show()

#Erro relativo

erro=[]
for i in range(len(lngE)):
  erro.append((abs(lngE[i]-beale[i]))/beale[i])

plt.plot(Energies,erro)
xlabel('Energia')
ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
#legend(loc='best')
yscale('log')
show()

from mpl_toolkits.axes_grid.inset_locator import (inset_axes,InsetPosition,mark_inset)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(EE,lngE,'o',markersize=1.5,label='Simulação')
ax1.plot(EE,beale,label='Exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$ln[g(E)]$')
ax1.set_xlim(-2.,4.)
ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(EE,erro)
ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$\epsilon [ln(g)]$')
savefig('fig1.png')
show()

print(beale[0:5])

print(lngE[0:5])

lmb23 = -1**300
lmb23e = -1**300

i=0
while i<N-1:
  termo23 = lngE[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23 > lmb23:
    lmb23 = termo23
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo23e = beale[i] - Energies[i]/2.3
  if termo23e > lmb23e:
    lmb23e = termo23e
  i = i+1

print(lmb23,lmb23e)

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

E=array(Energies);E1=E/N
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plt.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plt.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plt.plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plt.plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

E=array(Energies);E1=E/N
P=exp(lngE-E/2.3 - lmb23)
Pexact=exp(beale-E/2.3 - lmb23e)


plt.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
plt.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
#plt.plot(Energies,P2,label=r'$k_B T_c = 2.2$')
#plt.plot(Energies,P3,label=r'$k_B T_c = 2.4$')
xlabel('E/N')
ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
legend(loc='best')
show()

lmb22 = -1**300
lmb22e = -1**300
lmb24 = -1**300
lmb24e = -1**300

i=0
while i<N-1:
  termo22 = lngE[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22 > lmb22:
    lmb22 = termo22
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo22e = beale[i] - Energies[i]/2.2
  if termo22e > lmb22e:
    lmb22e = termo22e
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo24 = lngE[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24 > lmb24:
    lmb24 = termo24
  i = i+1

i=0
while i<N-1:
  termo24e = beale[i] - Energies[i]/2.4
  if termo24e > lmb24e:
    lmb24e = termo24e
  i = i+1

print(lmb22,lmb22e,lmb24,lmb24e)

P2=exp(lngE-E/2.2-lmb22)
P2exact=exp(beale-E/2.2-lmb22e)
P3=exp(lngE-E/2.4-lmb24)
P3exact=exp(beale-E/2.4-lmb24e)

fig,ax1=subplots()
ax1.plot(E1,P,label=r'$k_B T_c = 2.3$')
#ax1.plot(E1,Pexact,label=r'$k_B T_c = 2.3$ exata')
ax1.set_xlabel('E/N')
ax1.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T_c}$')
#ax1.set_ylim(0.,200.)
ax1.legend(loc='best')
ax2=axes([0,0,1,1])
ip=InsetPosition(ax1,[0.5,0.3,0.5,0.5])
ax2.set_axes_locator(ip)
ax2.plot(E1,P2,label=r'$k_B T = 2.2$')
#ax2.plot(E1,P2exact,label=r'$k_B T = 2.2$ exata')
ax2.plot(E1,P3,label=r'$k_B T = 2.4$')
#ax2.plot(E1,P3exact,label=r'$k_B T = 2.4$ exata')
#ax2.set_yscale('log')
ax2.set_xlabel('E/N')
ax2.set_ylabel(r'$g(E)e^{-E/k_B T}$')
ax2.legend(loc='best')
savefig('fig2.png')
show()

Te = linspace(0,8,255)
Thm=[];Thm_exact=[]

for T in Te:
  Thm.append(quantTermod(T, lngE, Energies, E0))
  Thm_exact.append(quantTermod(T, beale, Energies, E0))

Thm = array(Thm)
Thm_exact=array(Thm_exact)

#Energia interna
plt.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$U(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Calor específico
plt.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$C(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$F(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

#Entropia
plt.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
plt.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
plt.xlabel(r'$k_B T$')
plt.ylabel(r'$S(T)/N$')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

erroUt=(abs(Thm[:,0]-Thm_exact[:,0]))/abs(Thm_exact[:,0])
erroCt=(abs(Thm[:,1]-Thm_exact[:,1]))/Thm_exact[:,1]
erroFt=(abs(Thm[:,2]-Thm_exact[:,2]))/abs(Thm_exact[:,2])
erroSt=(abs(Thm[:,3]-Thm_exact[:,3]))/Thm_exact[:,3]

#Erro relativo para energia interna
plt.plot(Te,erroUt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para calor específico
plt.plot(Te,erroCt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para energia livre de Helmholtz
plt.plot(Te,erroFt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

#Erro relativo para entropia
plt.plot(Te,erroSt)
xlabel(r'$k_B T$')
ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
yscale('log')
plt.show()

figure(figsize=(10,8))

ax1=subplot(2,2,1)
ax1.plot(Te,Thm_exact[:,0],label='exata')
ax1.plot(Te,Thm[:,0],label='simulação')
ax1.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax1.set_ylabel(r'$U(T)/N$')
ax1.legend(loc='best')
ax12=axes([1,0,0,0])
ip=InsetPosition(ax1,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax12.set_axes_locator(ip)
ax12.plot(Te,erroUt)
ax12.set_yscale('log')
ax12.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax12.set_ylabel(r'$\epsilon [U(T)]$')

ax2=subplot(2,2,2)
ax2.plot(Te,Thm_exact[:,1],label='exata')
ax2.plot(Te,Thm[:,1],label='simulação')
ax2.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax2.set_ylabel(r'$C(T)/N$')
ax2.legend(loc='best')
ax22=axes([0,1,0,0])
ip=InsetPosition(ax2,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax22.set_axes_locator(ip)
ax22.plot(Te,erroCt)
ax22.set_yscale('log')
ax22.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax22.set_ylabel(r'$\epsilon [C(T)]$')

ax3=subplot(2,2,3)
ax3.plot(Te,Thm_exact[:,2],label='exata')
ax3.plot(Te,Thm[:,2],label='simulação')
ax3.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax3.set_ylabel(r'$F(T)/N$')
ax3.legend(loc='best')
ax32=axes([0,0,1,0])
ip=InsetPosition(ax3,[0.25,0.2,0.3,0.3])
ax32.set_axes_locator(ip)
ax32.plot(Te,erroFt)
ax32.set_yscale('log')
ax32.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax32.set_ylabel(r'$\epsilon [F(T)]$')

ax4=subplot(2,2,4)
ax4.plot(Te,Thm_exact[:,3],label='exata')
ax4.plot(Te,Thm[:,3],label='simulação')
ax4.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax4.set_ylabel(r'$S(T)/N$')
ax4.legend(loc='best')
ax42=axes([0,0,0,1])
ip=InsetPosition(ax4,[0.685,0.5,0.3,0.3])
ax42.set_axes_locator(ip)
ax42.plot(Te,erroSt)
ax42.set_yscale('log')
ax42.set_xlabel(r'$k_B T$')
ax42.set_ylabel(r'$\epsilon [S(T)]$')
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Referências

  1. D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017
  2. 2,0 2,1 P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78
  3. A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wiki da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising