Mudanças entre as edições de "Algoritmo de Wang-Landau"

De Física Computacional
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Energia interna:
 
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<math> U(T) = \frac{\sum_E Eg(E) e^{-E/k_BT}}{\sum_E g(E) e^{-E/k_BT}} = \langle E \rangle </math>
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Calor específico:
 
Calor específico:
 
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Energia livre de Helmholtz:
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<math> C(T) = \frac{\partial U(T)}{\partial T} = \frac{\langle E^2 \rangle - \langle E \rangle ^2}{k_BT^2} </math>
 
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Energia livre de Helmoltz:
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<math> F(T) = -k_BT\ln(Z) = -k_BT\ln\left( \sum_E g(E) e^{-E/k_BT} \right) </math>
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Entropia:
 
Entropia:
 
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<math> S(T) = \frac{U(T) - F(T)}{T} </math>
  
 
Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:
 
Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:
  
 
<math> P(E,T) = g(E) e^{-E/k_BT} </math>
 
<math> P(E,T) = g(E) e^{-E/k_BT} </math>
 
  
 
====Algoritmo====
 
====Algoritmo====

Edição das 21h06min de 28 de novembro de 2021

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica a uma dada temperatura , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia . [1]

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados não pode ser determinada para sistemas maiores [2]. Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a a partir de um passeio aleatório. A estimativa para é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir para todas as energias possíveis . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia é visitada, o histograma é incrementado em 1. A estimativa de é então modificada por um fator multiplicativo , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de .

Se e são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia para é dada por

A razão das probabilidades de transição de para e de a podem ser calculados como

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

onde é a probabilidade na energia e é a probabilidade de transição de para .

Se o estado de energia é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação de maneira que e a entrada no histograma para é atualizada de forma . Se o estado de energia não é aceito, a densidade de estados é multiplicada pelo fator de modificação, e é atualizada de forma .

Flatness

O procedimento de passeio aleatório é seguido até o histograma estar reto (do inglês, "flat"), e para determinar isso, a cada iterações verificamos se todos valores possíveis de estão a uma distância, no máximo, de . A variável é denominada "flatness". Quando o histograma está reto, todos estados de energia foram visitados aproximadamente igualmente.

O número de passos, </math> n </math> que devemos realizar antes de checar deve ser maior que onde indica o tamanho da rede, para que o algoritmo tenha a oportunidade de visitar cada estado pelo menos uma vez.

Para sistemas simples, podemos utilizar um valor tão alto quanto 95%, entretanto, para este trabalho foi escolhido o valor de 80%.

Fator de modificação

Em geral, como se torna muito grande, trabalhamos com o logaritmo natural dessas quantidades, . Portanto, cada atualização da densidade de estados é dada por . O valor comumente utilizado para o fator de modificação é .

Quando o histograma é considerado reto, pelas condições descritas acima, reduzimos o valor de de forma que o novo valor será , resetamos o histograma e recomeçamos o passeio aleatório.

A simulação é parada para um valor de predeterminado. No caso, usamos .


Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

O modelo de Ising é uma rede 2D, de tamanho que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo[3] Cada sítio pode ter o valor de spin ou .

Para este trabalho, o hamiltoniano de interação pode ser calculado por onde indica pares distintos de vizinhos-mais-próximos.

Com a densidade de estados, podemos calcular as seguintes quantidades termodinâmicas:

Energia interna:

Calor específico:

Energia livre de Helmoltz:

Entropia:

Finalmente, podemos também calcular a distribuição canônica usando:

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Defino para todos e o fator de modificação inicial ;

2. Aleatoriamente, escolho um spin e troco o seu valor. Aceito a transição com probabilidade ;

3. Modifico a densidade de estados e atualizo o histograma ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de pela metade e reseto o histograma ;

5. Repito os passos 2-4 até .

6. Obtendo a , posso calcular as quantidades termodinâmicas descritas anteriormente.

Implementação

Resultados

Densidade de estado.png


Dist cano 23.png


Dists cano.png

Qnt termo.png

Referências

  1. D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017
  2. P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78
  3. A. Rosa, C. Pires, L. Doria, Ising 2D, Wikia da Física Computacional da UFRGS. https://fiscomp.if.ufrgs.br/index.php/Ising_2D#Modelo_de_Ising