Mudanças entre as edições de "Algoritmo de Wang-Landau"

De Física Computacional
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Nomes: '''Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão'''
 
Nomes: '''Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão'''
 
Novembro de 2021
 
  
 
==Introdução==
 
==Introdução==
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==Amostragem de Wang-Landau==
 
==Amostragem de Wang-Landau==
No início da simulação, <math>g(E)</math> é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir <math>g(E) = 1</math> para todas as energias possíveis <math>E</math>. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando aleatoriamente seu estado.
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No início da simulação, <math>g(E)</math> é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir <math>g(E) = 1</math> para todas as energias possíveis <math>E</math>. A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.
  
Cada vez que uma energia <math>E</math> é visitada, a entrada correspondente em <math>H(E)</math> é incrementada em 1. A estimativa de <math>g(E)</math> é então modificada por um fator multiplicativo <math>f</math>, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de <math>E</math>.
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Cada vez que uma energia <math>E</math> é visitada, o histograma <math>H(E)</math> é incrementado em 1. A estimativa de <math>g(E)</math> é então modificada por um fator multiplicativo <math>f</math>, e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de <math>E</math>.
  
Se <math>E_1</math> e <math>E_2</math> são energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para <math>E_2</math> é
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Se <math>E_1</math> e <math>E_2</math> são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia <math>E_1</math> para <math>E_2</math> é dada por
  
 
<math>p(E_1 \rightarrow E_2) = min \left( \frac{g(E_1)}{g(E_2)}, 1\right).</math>
 
<math>p(E_1 \rightarrow E_2) = min \left( \frac{g(E_1)}{g(E_2)}, 1\right).</math>

Edição das 19h59min de 28 de novembro de 2021

Nomes: Rafael Abel da Silveira e William Machado Pantaleão

Introdução

Simulações computacionais, como o método de Monte Carlo, são vastamente utilizadas para estudar transições de fase e fenômenos críticos. O método padrão para simulações de Monte Carlo é o algoritmo de Metropolis, entretanto, algoritmos novos e mais eficientes são usados em simulações modernas, como o algoritmo de Wang-Landau. Ao contrário dos métodos convencionais de Monte Carlo, que geram diretamente uma distribuição canônica a uma dada temperatura , a abordagem de Wang-Landau estima a densidade de estados diretamente por meio de um passeio aleatório, que produz um histograma plano no espaço de energia . [1]

Mesmo para modelos que podem ser resolvidos analiticamente, a densidade de estados não pode ser determinada para sistemas maiores [2]. Com o algoritmo de Wang-Landau, é possível obter a a partir de um passeio aleatório. A estimativa para é melhorada a cada etapa do passeio aleatório, usando um fator de modificação cuidadosamente controlado, para produzir um resultado que converge para o valor real rapidamente.

Amostragem de Wang-Landau

No início da simulação, é desconhecido e fazemos uma estimativa inicial para ele. A abordagem mais simples é definir para todas as energias possíveis . A configuração de spin inicial para toda a rede pode ser escolhida arbitrariamente. Então, uma caminhada aleatória no espaço de energia é iniciada pela formação de estados de teste, cada um dos quais é produzido escolhendo aleatoriamente um spin e alterando seu estado.

Cada vez que uma energia é visitada, o histograma é incrementado em 1. A estimativa de é então modificada por um fator multiplicativo , e o valor atualizado realiza um passeio aleatório adicional no espaço de .

Se e são as energias antes e depois de um valor de spin ser alterado, a probabilidade de transição da energia para é dada por

A razão das probabilidades de transição de para e de a podem ser calculados como

Logo, o algoritmo de passeio aleatório satisfaz o equilíbrio detalhado:

onde é a probabilidade na energia e é a probabilidade de transição de para .

Algoritmo

Resumindo, o passo a passo do algoritmo pode ser escrito como:

1. Seto e um fator de modificação ;

2. Aleatoriamente, flipo um spin com probabilidade ;

3. Modifico a densidade de estados e atualizo o histograma ;

4. Continuo até o histograma estar reto, então diminuo o valor de e reseto o valor de ;

5. Repito 2-4 até .

Aplicação ao Modelo de Ising 2D

Modelo de Ising

Uma rede 2D que consiste de uma variável discreta em cada sítio que pode ser usada para representar o momento de dipolo magnético de um átomo.

Cada sítio pode ter o valor de spin ou .

O hamiltoniano pode ser calculado por

A soma ocorre sobre todos sítios vizinhos e a interação é ferromagnética para e antiferromagnética para .

Implementação

Resultados

Fig1.png Fig2.png Fig3.png


Referências

  1. D. P. Landau, Shan-ho Tsai, M. Exler, A new approach to Monte Carlo simulations in statistical physics: Wang-Landau sampling, American Journal of Physics 72, 1294 (2004). https://doi.org/10.1119/1.1707017
  2. P. D. Beale, Exact Distribution of Energies in the Two-Dimensional Ising Model, Phys. Rev. Lett. 76,78 (1996). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.76.78