Mudanças entre as edições de "Área 3"

De Física Computacional
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Use os seguintes N=4 pontos como dados de entrada:
 
Use os seguintes N=4 pontos como dados de entrada:
  
:<math>0.000000 \; \; \; 0.000000</math>
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0.000000 0.000000
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1.500000 0.997495
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+
 
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3.000000 0.141120
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4.500000 -0.977530
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Uma vez que o algoritmo esteja funcionando para N=4, use os seguintes N=9 pontos:
 
Uma vez que o algoritmo esteja funcionando para N=4, use os seguintes N=9 pontos:
  
:<math>0.000000 \; \; \; 0.000000</math>
+
0.000000 0.000000
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+
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+
0.750000 0.681639
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+
 
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1.500000 0.997495
:<math>3.750000 \; \; \; -0.571561</math>
+
 
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2.250000 0.778073
:<math>5.250000 \; \; \; -0.858935</math>
+
 
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3.750000 -0.571561
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4.500000 -0.977530
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5.250000 -0.858935
 +
 
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6.000000 -0.279415
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O ideal é fazer um programa que leia estes dados de dentro de um arquivo de entrada e faça a interpolação para um valor de N qualquer que o usuário queira.
 
O ideal é fazer um programa que leia estes dados de dentro de um arquivo de entrada e faça a interpolação para um valor de N qualquer que o usuário queira.
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3 - Use o algorimo construído em 8 para interpolar os seguintes N=11 pontos:
 
3 - Use o algorimo construído em 8 para interpolar os seguintes N=11 pontos:
  
:<math>0.000000 \; \; \; -0.200000 </math>
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0.000000 -0.200000
:<math>0.600000 \; \; \; -0.227273 </math>
+
 
:<math>1.200000 \; \; \; -0.263158 </math>
+
0.600000 -0.227273
:<math>1.800000 \; \; \; -0.312500 </math>
+
 
:<math>2.400000 \; \; \; -0.384615 </math>
+
1.200000 -0.263158
:<math>3.000000 \; \; \; -0.500000 </math>
+
 
:<math>3.600000 \; \; \; -0.714286 </math>
+
1.800000 -0.312500
:<math>4.200000 \; \; \; -1.250000 </math>
+
 
:<math>4.800000 \; \; \; -4.999993 </math>
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2.400000 -0.384615
:<math>5.400000 \; \; \; 2.500002 </math>
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3.000000 -0.500000
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3.600000 -0.714286
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4.200000 -1.250000
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Desenhe no gnuplot estes pontos e os valores interpolados pelo seu programa. Varie x entre 0 e 6 varrendo x a cada 0.2.
 
Desenhe no gnuplot estes pontos e os valores interpolados pelo seu programa. Varie x entre 0 e 6 varrendo x a cada 0.2.
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Considere a função <math>f(x) = exp(-0.1*x)*sin(2*x)</math>.
 
Considere a função <math>f(x) = exp(-0.1*x)*sin(2*x)</math>.
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4 - Faça no gnuplot um gráfico desta função dentro do intervalo pedido [-5:5]. Desenhe junto a linha <math>y=0</math> para que você possa visualizar graficamente quantas raízes há neste intervalo.
 
4 - Faça no gnuplot um gráfico desta função dentro do intervalo pedido [-5:5]. Desenhe junto a linha <math>y=0</math> para que você possa visualizar graficamente quantas raízes há neste intervalo.
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5 - Retome o programa (fornecido em aula e que está no moodle) que calcula zeros de funções usando o método de Newton-Raphson e adapte-do para encotrar TODOS os zeros da função <math>f(x)</math> no intervalo [-5:5]. Imprima estas raízes num arquivo chamado raizes.dat.
 
5 - Retome o programa (fornecido em aula e que está no moodle) que calcula zeros de funções usando o método de Newton-Raphson e adapte-do para encotrar TODOS os zeros da função <math>f(x)</math> no intervalo [-5:5]. Imprima estas raízes num arquivo chamado raizes.dat.
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Usando este método, quantas raízes você consegue encontrar?  
 
Usando este método, quantas raízes você consegue encontrar?  
 
Calcule <math>F'(x)</math> para cada raiz encontrada no problema 5 e interprete o resultado que você acaba de obter à luz do que foi discutido em aula sobre a estabalidade do método de iteração simples.
 
Calcule <math>F'(x)</math> para cada raiz encontrada no problema 5 e interprete o resultado que você acaba de obter à luz do que foi discutido em aula sobre a estabalidade do método de iteração simples.
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7- método de bissecção: discuta brevemente as desvantagens deste método.
 
7- método de bissecção: discuta brevemente as desvantagens deste método.
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C) Ajuste de curvas usando o método dos mínimos quadrados
 
C) Ajuste de curvas usando o método dos mínimos quadrados
 
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8)  Dados os pontos;
 
8)  Dados os pontos;
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Ajuste uma função do tipo <math<f(x) = a0+a1*x+a2*x2</math> usando o método dos mínimos quadrados. Depois faça um gráfico usando os pontos da tabela e compare com a curva teórica que você calculou.
 
Ajuste uma função do tipo <math<f(x) = a0+a1*x+a2*x2</math> usando o método dos mínimos quadrados. Depois faça um gráfico usando os pontos da tabela e compare com a curva teórica que você calculou.
  
 
  
 
9) A resistência à compressão do concreto ( chamada de sigma ), decresce com o aumento da razão água/cimento (w/c, cuja unidade é em galões de água por saco de cimento). A resistência à compressão de várias amostras  é dada na tabela a seguir:
 
9) A resistência à compressão do concreto ( chamada de sigma ), decresce com o aumento da razão água/cimento (w/c, cuja unidade é em galões de água por saco de cimento). A resistência à compressão de várias amostras  é dada na tabela a seguir:

Edição das 14h30min de 29 de novembro de 2011

A) Interpolação e Extrapolação


1 - Explique a ideia do algoritmo de Neville (linhas gerais).


2 - Em aula fizemos um algoritmo que interpola um conjunto de pontos usando o algoritmo de Neville. Na ocasião, eu propus que os polinômios fossem mapeados em uma matriz quadrada A de dimensão NxN, onde os elementos da primeira coluna eram os pontos P11, P22, P33, etc e os demais elementos eram colocados nas demais colunas... Agora eu quero propor uma outra maneira de mapear e isto implica uma outra maneira de construir o algoritmo. O objetivo é que você ENTENDA os passos, construa o seu algortimo com calma. Mapeie da seguinte maneira: os polinômios P11, P22, P33, etc (os quais são dados do problema) são colocados na diagonal principal da matrix A (A[1][1], A[2][2], etc). Em seguida, os polinômios P12, P23, P34, etc, são colocados na diagonal seguinte (A[1][2], A[2][3], etc) . Os poliômios P123, P234, etc na outra diagonal (A[1][3], A[2][4], etc) e assim sucessivamente. Este algoritmo terá uma fórmula de recorrência difente daquele feito em aula e também a maneira de variar os índices será outra.

Use os seguintes N=4 pontos como dados de entrada:

0.000000 0.000000

1.500000 0.997495

3.000000 0.141120

4.500000 -0.977530


Uma vez que o algoritmo esteja funcionando para N=4, use os seguintes N=9 pontos:

0.000000 0.000000

0.750000 0.681639

1.500000 0.997495

2.250000 0.778073

3.000000 0.141120

3.750000 -0.571561

4.500000 -0.977530

5.250000 -0.858935

6.000000 -0.279415


O ideal é fazer um programa que leia estes dados de dentro de um arquivo de entrada e faça a interpolação para um valor de N qualquer que o usuário queira.


3 - Use o algorimo construído em 8 para interpolar os seguintes N=11 pontos:

0.000000 -0.200000

0.600000 -0.227273

1.200000 -0.263158

1.800000 -0.312500

2.400000 -0.384615

3.000000 -0.500000

3.600000 -0.714286

4.200000 -1.250000

4.800000 -4.999993

5.400000 2.500002

6.000000 1.000000

Desenhe no gnuplot estes pontos e os valores interpolados pelo seu programa. Varie x entre 0 e 6 varrendo x a cada 0.2.


B) Zeros de Funções


Legenda para esta seção:

é a derivada de com relação à


Considere a função .


4 - Faça no gnuplot um gráfico desta função dentro do intervalo pedido [-5:5]. Desenhe junto a linha para que você possa visualizar graficamente quantas raízes há neste intervalo.


5 - Retome o programa (fornecido em aula e que está no moodle) que calcula zeros de funções usando o método de Newton-Raphson e adapte-do para encotrar TODOS os zeros da função no intervalo [-5:5]. Imprima estas raízes num arquivo chamado raizes.dat. Fundamental se dar conta de alguns "detalhes" antes de executar esta tarefa:

  • Como o método de Newton-Raphson encontra apenas uma raiz para cada valor "chute" de x ("x_init"), então você deverá relançar o método várias vezes até encontrar todas as raízes do intervalo. Isto exige que você faça um loop variando "x_init" e, para cada x_init, você aplica o método de iteração.
  • Note que o método pode (e provavelmente vai) encontrar a mesma raiz mais de uma vez. Você não deve estocar raízes repedidas! e isto implica que você deve pensar em uma maneira de fazer isto (dicas no final da lista para os que quiserem)


6 - Faça exatamente o mesmo procedimento que fizeste no problema 5 com o método de iteração simples. Uma vez feito o algoritmo do problema 5, basta você alterar a parte que calcula a iteração para usar o método de iteração simples visto em aula. Usando este método, quantas raízes você consegue encontrar? Calcule para cada raiz encontrada no problema 5 e interprete o resultado que você acaba de obter à luz do que foi discutido em aula sobre a estabalidade do método de iteração simples.


7- método de bissecção: discuta brevemente as desvantagens deste método.


Dicas para o problema 5 (no ponto onde você vai verificar se a nova raiz encontrada já foi calculada) a) você pode estocar as raízes em uma matriz (ex raizes[] ) e, a cada vez que o algoritmo encontra uma raiz, ele deve comparar com as demais raízes já estocadas na matriz raizes[]. b) quando você for comparar a nova raiz encontrada (digamos x) com os elementos da matriz raizes[] (digamos raizes[i]), perceba que você estará comparando números reais. Então cuidado com os operadores de igual (==) ou diferente (!=), pois um número será diferente do outro se e somente se todas os algarismos significativos o forem! portanto, ao invés de comparar se x!=raizes[i], faça fabs(x-raizes[i]) < PRECISAO, onde fmod(a) é o módulo de a. c) não hesite em "debugar" o seu programa ! Isto vai ajudá-la(o) a entender o que há de errado.


C) Ajuste de curvas usando o método dos mínimos quadrados



8) Dados os pontos;

x: 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

y: 0.62 0.63 0.64 0.66 0.68 0.71 0.76 0.81 0.89 1.00

Ajuste uma função do tipo <math<f(x) = a0+a1*x+a2*x2</math> usando o método dos mínimos quadrados. Depois faça um gráfico usando os pontos da tabela e compare com a curva teórica que você calculou.


9) A resistência à compressão do concreto ( chamada de sigma ), decresce com o aumento da razão água/cimento (w/c, cuja unidade é em galões de água por saco de cimento). A resistência à compressão de várias amostras é dada na tabela a seguir:

w/c: 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0

sigma: 7000 6125 5237 4665 4123 3810 3107 3070 2580 2287

Usando o método dos mínimos quadrados e utilizando uma função do tipo , ajuste sigma aos dados da tabela. Grafique os pontos da tabela e a função obtida.