Método Lax-Friedrich

A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo $u_{i}^{n}$ no lado direito pela média espacial de $u$ calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos:

$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})+{\frac {r}{2}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})$

(11)

A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:

$A=\cos(k\Delta x)-ir\sin ^{2}(k\Delta x)$

(12)

Portanto

$|A|^{2}=1-(1-r^{2})\sin ^{2}(k\Delta x)$

(13)

Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de $r$ menor do que 1. Pela definição de $r$, temos que:

$\Delta t<{\frac {\Delta x}{v}}$

(13)

Implementação do método

• Condição inicial: $u(x,0)=1-\cos(x)$;

• Condições de contorno para bordas cíclicas.

# Solução pelo método Lax-Friedrichs para equação de advecção

def LaxFad(L, tf, v, Nx, Nt):
    """
    Parâmetros:
    - L: comprimento
    - tf: tempo final
    - v: velocidade de propagação
    - Nx: número de pontos na direção espacial
    - Nt: número de pontos na direção temporal

    Retorna:
    - Matriz com a solução da equação da onda
    """

    dx = L / (Nx - 1)
    dt = tf / (Nt - 1)
    r = v * dt / dx

    u = np.zeros((Nt, Nx+1))

    # Condição inicial: u(x,0) = f(x)
    x = np.linspace(0, L, Nx+1)
    u[0,:] = 1-np.cos(x) # Função que descreve a perturbação da onda

    # Condições de contorno borda infinita:
    xpos = np.zeros(Nx+1)
    xneg = np.zeros(Nx+1)

    for i in range(0,Nx+1):
      xpos[i] = i+1
      xneg[i] = i-1
    xpos[Nx] = 0
    xneg[0] =  Nx

    # Iteração no tempo
    for n in range(0, Nt - 1):
        for i in range(0, Nx+1):
            u[n+1,i] = (1/2) * (u[n, int(xpos[i])] + u[n,int(xneg[i])]) + (r/2) * (u[n, int(xpos[i])] - u[n,int(xneg[i])])

    return u

# Parâmetros
L = 2*np.pi
tf =1
v = 1 # -1. muda direção de propagação
Nx = 100
Nt = 500

solv2 = LaxFad(L, tf, v, Nx, Nt)

listX = np.linspace(0, L, Nx+1)
listT = np.linspace(0, tf, Nt)

X, T = np.meshgrid(listX, listT)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.pcolormesh(X, T, solv2, cmap='viridis', shading='auto')
plt.colorbar(label='Amplitude(u)')
plt.xlabel('Posição (x)')
plt.ylabel('Tempo (t)')
plt.title('Solução Lax-Friedrichs da Equação da advecção (1D)', fontsize=16)
plt.show()

Solução pelo método Lax-Friedrich