Método Lax-Friedrich

A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo $u_{i}^{n}$ no lado direito pela média espacial de $u$ calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos:

$u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i+1}^{n}+u_{i-1}^{n})+{\frac {r}{2}}(u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n})$

(11)

A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:

$A=\cos(k\Delta x)-ir\sin ^{2}(k\Delta x)$

(12)

Portanto

$|A|^{2}=1-(1-r^{2})\sin ^{2}(k\Delta x)$

(13)

Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de $r$ menor do que 1. Pela definição de $r$, temos que:

$\Delta t<{\frac {\Delta x}{v}}$

(13)

Implementação do método

• Condição inicial: $u(x,0)=1-\cos(x)$;

• Condições de contorno para bordas cíclicas.