Método Lax-Friedrich

A instabilidade no esquema FTCS pode ser corrigida substituindo $u_i^n$ no lado direito pela média espacial de $u$ calculada nos pontos da grade vizinhos. Dessa forma, obtemos:

$u_i^{n+1}=\frac{1}{2}(u_{i+1}^n+u_{i-1}^n)+\frac{r}{2}(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n)$

(11)

A análise de estabilidade de von Neumann do esquema de Lax resulta na seguinte expressão para o fator de amplificação:

$A=\cos (k\mathrm{\Delta }x)-ir{\sin }^{}(k\mathrm{\Delta }x)$

(12)

Portanto

$|A{|}^2=1-(1-r^2){\sin }^2(k\mathrm{\Delta }x)$

(13)

Ou seja, o método é incondicionalmente estável para os valores de $r$ menor do que 1. Pela definição de $r$, temos que:

$\mathrm{\Delta }t<\frac{\mathrm{\Delta }x}{v}$

(13)

Implementação do método

• Condição inicial: $u(x,0)=1-\cos (x)$;

• Condições de contorno para bordas cíclicas.