Métodos Computacionais para Estudo de Fenômenos Ondulatórios

Filssen Schereiber, João Roth e Lucas Oliveira

Este trabalho tem como objetivo realizar um estudo introdutório da equação da onda, adotando uma abordagem computacional que proporciona uma base teórica sólida e intuitiva. Inicialmente, é realizada a implementação de uma solução numérica (FTCS) para a equação da advecção, visando o estudo da propagação de uma perturbação e explorando aspectos computacionais fundamentais. Em seguida, a equação da onda é aplicada em uma dimensão, permitindo uma investigação detalhada de fenômenos ondulatórios, tais como reflexão, interferência e refração. A abordagem é estendida para duas dimensões, incluindo a análise dos efeitos de contorno nesse contexto. Por fim, o trabalho aprofunda-se no estudo do fenômeno de difração, contribuindo para uma compreensão mais enriquecedora dos aspectos complexos dos fenômenos ondulatórios em múltiplas dimensões.

Introdução

O que é uma onda exatamente? De acordo com 'A Student’s Guide to Waves', a literatura apresenta diversas definições. Contudo, a característica mais comum que define uma onda é sua natureza como uma perturbação, uma alteração no estado de equilíbrio que, inicialmente, permanece inalterado. Quando uma fonte externa, como um objeto vibrante ou uma força inicial, perturba a condição de equilíbrio de um meio, essa perturbação é transmitida de partícula para partícula ao longo do meio. Esse processo de transmissão de energia ocorre sem que as partículas individuais do meio se desloquem significativamente de suas posições de equilíbrio. Em outras palavras, a energia da perturbação é transferida, mas as partículas do meio não se movem em conjunto com a onda.

O estudo da física das ondas desempenha um papel crucial, permeando inúmeras áreas da ciência e da tecnologia ao proporcionar uma compreensão profunda dos fenômenos ondulatórios e suas aplicações práticas. A física das ondas desempenha um papel essencial em nossa vida cotidiana. Seu impacto é evidente na tecnologia de comunicação, onde as ondas de rádio e micro-ondas são a espinha dorsal de redes globais de telefonia móvel e internet sem fio.

Com base no exposto, propõe-se a realização de um estudo abrangente sobre a modelagem de fenômenos ondulatórios. Inicialmente, serão apresentados pontos importantes acerca da equação da onda. Em seguida, dedicaremos atenção ao estudo da propagação de uma perturbação a partir da equação de advecção. Nesse contexto, abriremos a discussão sobre a abordagem computacional, e, tangencialmente, comentaremos sobre outros métodos numéricos para resolver a advecção. Posteriormente, faremos um estudo sobre a solução numérica da equação da onda, permitindo a modelagem de fenômenos ondulatórios, como reflexão, interferência, refração e difração.

Equação da Onda

A função de uma onda é aquela que especifica o valor da perturbação em cada ponto e instante ao longo de seu percurso. Para iniciar nossa análise, abordaremos o exemplo mais simples, em que a propagação ocorre unicamente em uma direção, como é o caso das ondas transversais em uma corda.

Dedução

O perfil da onda em uma corda em um determinado instante é equivalente à forma que a corda apresenta nesse momento, que é dada pela função $y(x,t)$. A perturbação assume a forma de uma onda progressiva, movendo-se como uma entidade coesa para a direita, mantendo sua configuração inalterada, com velocidade $v$. Dessa forma, ao acompanhar a onda em um referencial inercial diferente, em que $y(x,t)=y(x',t)$, onde $x'$ representa o antigo $x$ deslocado por $vt$, a relação entre os dois referenciais é estabelecida por

$x'=x-vt$. $y'=y$.

de modo que, no referencial original,

$y(x,t)=f(x-vt)$.

descreve uma onda progressiva, que se propaga para a direita, com velocidade $v$.

Para associar uma equação de movimento com a propagação da onda, vamos calcular a aceleração num dado ponto $x$. A velocidade e a aceleração em $x$ se obtêm fixando $x$ e derivando em relação ao tempo, o que corresponde a tomar derivadas parciais.

$V={\frac {\partial }{\partial t}}y(x,t)$. $A={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}y(x,t)$.

pela regra da cadeia

${\frac {\partial y}{\partial t}}={\frac {\partial f}{\partial x'}}{\frac {\partial x'}{\partial t}}=-v{\frac {\partial f}{\partial x'}}$.

Analogamente,

${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=-v{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial x'}}=-v{\frac {\partial }{\partial x'}}{\frac {\partial f}{\partial x'}}{\frac {\partial x'}{\partial t}}$.

ou seja,

Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \frac{\partial ^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial ^2 f }{\partial x'^2} \end{equation} Derivando $y$ em relação a $x$ obtemos que: <center><math> \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x'} } . ${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x'^{2}}}$.

Assim,

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}-v^{2}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}=0$.

Denominada equação da onda unidimensional, esta é uma das equações fundamentais da física.