Modelo de Blume-Capel bidimensional

Modelo de Ising

No contexto de transições de fase ferromagnéticas, um modelo muito simples, mas não trivial, que incorpora interações de curto alcance (vizinhos próximos) é o Modelo de Ising. Proposto em 1925 pelo físico alemão alemão Ernst Ising (1900-1998), possui o seguinte formato:

${\mathcal {H}}=-J\sum _{<i,j>}\sigma _{i}\sigma _{j}-H\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i},$

onde $\sigma _{i}$ é uma variável aleatória que pode assumir os valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pm 1} nos sítios Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1,2,...,N} de uma rede cristalina. O primeiro termo da soma, referente aos vizinhos próximos <i,j>, representa as energias de interação que devem dar origem a um estado ferromagnético (se J>0). Já o segundo termo, que representa a interação do sistema com um campo magnético externo H, é de caráter puramente paramagnético.

Pode-se interpretar as variáveis de spin de diferentes maneiras:

1.Componentes do spin dos átomos, na direção do campo externo, que podem "apontar para cima ou para baixo";

2.Como uma indicação de que o sítio i pode estar ocupado por um átomo de tipo A ou B;

3.Como um número de ocupação, que assinala a presença ou a ausência de uma molécula numa determinada célula de um "gás de rede".

A multiplicidade de interpretações permite inferir o caráter universal do modelo. Trata-se de um excelente ponto de partida para o estudo de modelos mais sofisticados.

A solução analítica, conforme demonstrado por Ising em 1925 para o caso unidimensional, passa inevitavelmente pelo cálculo da função de partição canônica,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_N=\sum_{\sigma_i}exp(-\beta\mathcal{H}),}

cuja soma abrange todas as Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^N} configurações. Na equação acima, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta=\frac{1}{k_bT}} . Para fins de simplificação, foi feita a suposição de que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_b=1} .

No equilíbrio termodinâmico, a uma temperatura T, a probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\sigma)} de encontrar o sistema na configuração Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma} é

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\sigma)=\frac{1}{Z}e^{-\beta E(\sigma)}}

.

Outra função de estado particularmente relevante é a magnetização total, dada pela relação

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{M}=\sum_{i}\sigma_i }

.

Já a energia do sistema, bem como as variações desta, é calculada, naturalmente, através do hamiltoniano que descreve o modelo de Ising.

Modelo de Blume-Capel

Teste 1