Shooting method e Método de Crank-Nicolson

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional pode ser escrita da seguinte maneira:

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial x^2}+V\mathrm{\Psi }.$

Para resolvê-la é necessário efetuar uma separação de variáveis:

$\mathrm{\Psi }(x,t)=\psi (x)\phi (t).$

Aplicando na primeira equação e separando os termos espaciais dos termos temporais, chega-se a uma equação com o seguinte formato:

$i\hslash \frac{1}{\phi }\frac{d\phi }{dt}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{1}{\psi }\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V.$

Pelo fato da parte da esquerda ser dependente de t e a parte da direita ser dependente de x e de ambas estarem relacionadas por uma igualdade, é necessário que ambos os lados sejam constantes: em outras palavras, não é possível modificar um lado sem necessariamente alterar o outro. Através de um raciocínio perspicaz, a constante em questão será denominada E.

Parte temporal

A parte que diz respeito à evolução temporal:

$\frac{d\phi }{dt}=-\frac{iE}{\hslash }\phi .$

A solução geral possui o seguinte formato

$\phi (t)=C{e}^{-\frac{-iEt}{\hslash }},$

cuja constante C pode, neste caso, ser absorvida, de modo que

$\phi (t)=e^{-\frac{-iEt}{\hslash }}.$

Parte espacial

Quanto à parte espacial, utilizando o mesmo raciocínio empregado anteriormente, a equação pode ser escrita como

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+V\psi =E\psi$

Para este caso, no entanto, não há uma única solução, pois esta depende do potencial V escolhido. Para o presente trabalho optou-se por trabalhar com o caso do poço infinito de potencial pelo fato das soluções analíticas já serem conhecidas, de modo a tornar possível avaliar os resultados numéricos obtidos à luz da solução analítica.

Poço de potencial infinito

O potencial pode ser descrito como:

$V(x)=\{\begin{array}{ll}0,& \text{se }0\le x\le L,\\ \mathrm{\infty },& \text{de outra forma.}\end{array}$

Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=E\psi ,$

ou

$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=-k^2\psi ,$

onde

$k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }.$

A solução é dada por

$\psi (x)=Asen(kx)+Bcos(kx).$

Aplicando as condições de contorno $\psi (0)=\psi (L)=0$ e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral

${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen\left(\frac{n\pi }{L}x\right),$

cujas energias discretizadas são

$E_n=\frac{{\hslash }^2{k}_n^2}{2m}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}.$

Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são $E_1=0,376$ eV, $E_2=1,504$ eV e $E_3=3,384$ eV.

Na próxima seção será feita uma estimativa dos valores acima expostos através do "Shooting method".