Shooting method e Método de Crank-Nicolson

O objetivo deste trabalho é aplicar o Shooting method (método do chute) para encontrar as primeiras funções de onda espaciais da Equação de Schrödinger para o caso do poço de potencial infinito. Após, será realizada a evolução temporal através do Método de Crank-Nicolson.

Equação de Schrödinger

A equação de Schrödinger unidimensional pode ser escrita da seguinte maneira:

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi .

Para resolvê-la é necessário efetuar uma separação de variáveis:

\Psi (x,t)=\psi (x)\varphi (t).

Aplicando na primeira equação e separando os termos espaciais dos termos temporais, chega-se a uma equação com o seguinte formato:

i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V.

Pelo fato da parte da esquerda ser dependente de t e a parte da direita ser dependente de x e de ambas estarem relacionadas por uma igualdade, é necessário que ambos os lados sejam constantes: em outras palavras, não é possível modificar um lado sem necessariamente alterar o outro. Através de um raciocínio perspicaz, a constante em questão será denominada E.

Parte temporal

A parte que diz respeito à evolução temporal:

{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {iE}{\hbar }}\varphi .

A solução geral possui o seguinte formato

\varphi (t)=Ce^{-{\frac {-iEt}{\hbar }}},

cuja constante C pode, neste caso, ser absorvida, de modo que

\varphi (t)=e^{-{\frac {-iEt}{\hbar }}}.

Parte espacial

Quanto à parte espacial, utilizando o mesmo raciocínio empregado anteriormente, a equação pode ser escrita como

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi

Para este caso, no entanto, não há uma única solução, pois esta depende do potencial V escolhido. Para o presente trabalho optou-se por trabalhar com o caso do poço infinito de potencial pelo fato das soluções analíticas já serem conhecidas, de modo a tornar possível avaliar os resultados numéricos obtidos à luz da solução analítica.

Poço de potencial infinito

O potencial pode ser descrito como:

V(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{se }}0\leq x\leq L,\\\infty ,&{\mbox{de outra forma.}}\end{cases}}

Dentro do poço, onde $V=0$, o problema pode ser modelado da seguinte maneira

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi ,

ou

{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-k^{2}\psi ,

onde

k\equiv {\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.

A solução é dada por

\psi (x)=Asen(kx)+Bcos(kx).

Aplicando as condições de contorno $\psi (0)=\psi (L)=0$ e efetuando a normalização da função de onda, obtém-se a solução geral

\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}sen\left({\frac {n\pi }{L}}x\right),

cujas energias discretizadas são

E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}.

Utilizando a equação acima, pode-se calcular os valores da energia de cada estado estacionário. Para o caso de um elétron, as energias referentes aos três estados estacionários são $E_{1}=0,376$ eV, $E_{2}=1,504$ eV e $E_{3}=3,384$ eV.