Grupo3 - Ondas2

Introdução

Equações diferenciais parciais (EDP's) hiperbólicas geralmente podem ser formuladas a partir de teoremas de conservação. Um exemplo é a equação do tipo:

${\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {F}}(U)={\vec {S}}(U)$,

onde ${\vec {U}}$ é o vetor de densidades da quantidade conservada, i.e., ${\vec {U}}=(U_{1},...,U_{n})$, ${\vec {F}}$ é o fluxo de densidade e ${\vec {S}}$ é um termo genérico representando fontes ou sumidouros.

Uma classe especial de equações hiperbólicas são as chamadas equações de adveção, na qual a derivada temporal da quantidade conservada ${\vec {U}}({\vec {x}},t)$ é proporcional à sua derivada espacial. Nesses casos, ${\vec {F}}(U)$ é diagonal e dada por:

${\vec {F}}(U)=v{\vec {I}}\cdot {\vec {U}}$,

onde ${\vec {I}}$ é a matriz identidade.

Considerando apenas uma dimensão e com ${\vec {U}}\equiv u$, temos a equação de adveção:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+v{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$,

onde $v$ é a velocidade de propagação do pulso gerado. A equação admite uma solução analítica da forma $u=f(x-vt)$, representando uma onda se movendo na direção $x$.

A equação da onda em uma dimensão é uma EDP hiperbólica de segunda ordem dada por

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

E admite duas soluções, representadas por pulsos, $f(x+vt)$ e $f(x-vt)$.

Assumindo que $v\neq v(x)$ na equação da onda, nos restringimos a problemas lineares. Além disso, se escrevermos

$k=v{\frac {\partial u}{\partial x}}$, $s={\frac {\partial u}{\partial t}},$

então a equação da onda pode ser escrita como um sistema de três equações diferenciais de primeira ordem:

${\begin{cases}{\frac {\partial k}{\partial t}}=v{\frac {\partial s}{\partial x}}\\{\frac {\partial s}{\partial t}}=v{\frac {\partial k}{\partial x}}\\{\frac {\partial u}{\partial t}}=s\end{cases}}$

Em notação vetorial, o sistema acima pode ser reescrito na forma conservativa como: ${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F(U)}{\partial x}}=0$,

onde $U={\begin{pmatrix}k\\s\end{pmatrix}},\quad {\textrm {e}}\quad F(U)={\begin{pmatrix}0&-v\\-v&0\end{pmatrix}}$

O Problema Físico

O Modelo de Corda Ideal

Para uma primeira abordagem da equação da onda, podemos primeiro dividir o comprimento $L$ da corda em $K$ intervalos de comprimentos iguais, dessa forma $\Delta x={\frac {L}{K}}$. Cada intervalo é discretizado, representado por $x_{i}$, $i=0,1,...,K$. Também podemos dividir o tempo em intervalos iguais $\Delta t$ e denotá-los como $t_{n}$, $n=0,1...$.

Tendo feita a discretização das variáveis, podemos aproximar a equação da onda por diferenciação finita, utilizando derivadas centradas da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{U^{n+1}_{i}-2U^n_i+U^{n-1}_i}{\Delta t^2}}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\frac{U^{n}_{i+1}-2U^n_i+U^{n}_{i-1}}{\Delta x^2}}

Assim, chegamos em uma equação discretizada:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-2u_i^n+u_i^{n-1}}{(\Delta t)^2} = v^2 \frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{(\Delta x)^2}} .

Sabendo que essa discretização da equação da onda pode ser verificada como sendo o método Leapfrog (ver seção do método de Leapfrog), podemos resolver a equação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}} para sabermos o deslocamento de uma partição da corda no momento de tempo seguinte, assim obtendo

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1} = 2(1-r^2)u_i^n + r^2[u_{i+1}^n+u_{i-1}^n]-u_i^{n-1}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = v \frac{\Delta t}{\Delta x}.}

Um Quadro Mais Realístico - O Modelo de Corda Rígida

Para nos aproximarmos de um modelo mais real, podemos adicionar um termo à equação original da onda que corresponde ao efeito de fricção em uma corda. De acordo com [1], a equação da onda mais geral com efeito de fricção pode ser escrita como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \left( \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \epsilon L^2 \frac{\partial^4 y}{\partial x^4} \right),}

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é a velocidade transversal de propagação do pulso na corda, dada pela relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \sqrt[]{\frac{T}{\rho}}} (sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} a tensão na corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} a densidade linear da mesma), Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é um parâmetro adimensional de fricção que representa a rigidez da corda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} o comprimento da corda.

O parâmetro Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} é dado por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon = \kappa² \frac{E S}{T L^2}} ,

onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \kappa} é o raio da corda, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E} é o Módulo de Young e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} a área da secção da corda.

Ao discretizarmos a equação da onda em uma corda com fricção e a resolvendo para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}} obtemos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1}=[2-2r^2-6\epsilon r^2K^2]u_i^n - u_i^{n-1} +r^2[1+4\epsilon K^2][u_{i+1}^n+u_{i-1}^n]-\epsilon r^2K^2[u_{i+2}^n + u_{i-2}^n].}

O fato de essa discretização depender do deslocamento da corda em posições Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i-2} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i+2} implica em precisarmos simular "pontos fantasmas" quando integramos os extremos das cordas. Para fazermos isso, podemos ou utilizar a aproximação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{-1}^n = -u_{+1}^n} ou podemos considerar esses "pontos fantasmas" como pontos presos e, portanto, sempre iguais a zero.

Os Métodos Utilizados

Foi realizada uma abordagem ao problema da corda real a partir de três métodos diferentes de integração numérica. Os três são métodos para fins de resolução de equações diferenciais parciais da forma apresentada anteriormente.

O método mais básico é chamado de FTCS (Forward-Time-Centered-Space) e consiste em duas expansões de Taylor ao redor do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_j} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_i + \Delta x,t^n) = u(x_i,t^n) + \frac{\partial u}{\partial x}(x_i,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t^n)\Delta x^2 + \mathcal{O}(\Delta x^3),}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u(x_i - \Delta x,t^n) = u(x_i,t^n) - \frac{\partial u}{\partial x}(x_i,t^n)\Delta x + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x_i,t^n)\Delta x^2 + \mathcal{O}(\Delta x^3).}

Subtraindo as duas expressões, encontramos a expressão

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i^n = \frac{u^n_{i+1} - u^n_{i-1}}{2 \Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x^2)} ,

A qual podemos substituir na equação da onda, juntamente com a discretização da derivada parcial temporal. Temos então que, para um sistema linear de equações hiperbólicas:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_i = \textbf{U}^n_i - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta t^2, \Delta x^2 \Delta t)}

Visto que essa última notação é mais genérica, ela será utilizada para a explicação dos métodos posteriores.

O Método de Lax-Friedrichs

O método de Lax-Friedrichs consiste em substituir o termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^n_i} com sua respectiva média espacial, i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^n_i = (u^n_{i+1} + u^n_{i-1})/2} . Logo, temos a seguinte equação de recorrência:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_i = \frac{1}{2}(\textbf{U}^n_{i+1} + \textbf{U}^n_{i-1}) - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2)}

O Método de Leapfrog

Tanto o método FTCS quanto o método de Lax-Friedrichs são métodos de primeira ordem para a derivada temporal. Nessas circunstâncias, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \Delta t} deve ser significantemente menor do que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle /Delta x} , muito abaixo do limite imposto pela condição de Courant (ver seção estabilidade dos métodos).

Uma nova expressão para a derivada temporal, com precisão de segunda ordem é dada por

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} |^n_j = \frac{u^{n+1}_j - u^{n-1}_j}{2 \Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t^2).}

Substituindo a nova expressão acima no método de FTCS discutido anteriormente, encontramos o método de Leapfrog:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_j = \textbf{U}^{n-1}_j - \frac{\Delta t}{\Delta x} [\textbf{F}^n_{j+1} - \textbf{F}^n_{j-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2).}

Como o método de Leapfrog foi o mais aplicado na resolução do problema em questão, é interessante um aprofundamento maior do método. Podemos adaptar o método de Leapfrog para o sistema de equações definido para a equação da onda ao fazermos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^n \equiv v \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{i+\frac{1}{2}}^{n} = v \frac{u_{i+1}^n-u_i^n}{\Delta x} + \mathcal{O}(\Delta x) \qquad (1) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_{i}^{n+\frac{1}{2}} \equiv \left.\frac{\partial u}{\partial t}\right|_{i}^{n+\frac{1}{2}} = \frac{u_{i}^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} + \mathcal{O}(\Delta t) \qquad (2) }

Com a representação Leapfrog das equações do sistema de três equações, temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_{i+\frac{1}{2}}^{n+1} = k_{i+\frac{1}{2}}^n+r(s_{i+1}^{n+\frac{1}{2}}-s_{i}^{n+\frac{1}{2}})+\mathcal{O}(\Delta x^2) \qquad (3) }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s_i^{n+\frac{1}{2}} = s_{i}^{n-\frac{1}{2}}+r(k_{i+\frac{1}{2}}^{n}-k_{i-\frac{1}{2}}^{n})+\mathcal{O}(\Delta x^2) \qquad (4) }

Com essas duas equações, podemos fazer uma integração utilizando o método de Euler para obter Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_j^{n+1}} , ou seja, o deslocamento de um determinado ponto no próximo instante de tempo:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_i^{n+1} = u_i^n + \frac{\Delta t}{2}s_i^{n+\frac{1}{2}}+\mathcal{O}(\Delta x^2).} Contudo, podemos fazer uma simples substituição das equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2)} nas equações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (3)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (4)} e, assim, obtemos que a representação de Leapfrog da equação da onda é dada pela discretização de segunda ordem da própria equação da onda, com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{O}(\Delta t^2, \Delta x^2)} . Isso nos dá uma solução de "um passo", onde só precisamos efetuar o cálculo da equação discretizada.

O Método de Lax-Wendroff

O método de Lax-Wendroff é a extensão do método de Lax-Friedrichs de segunda ordem. Calculamos o vetor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} a partir de um passo médio de Lax-Friedrichs:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i + \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} [\textbf{U}^n_{i+1} + \textbf{U}^n_i] - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i+1} - \textbf{F}^n_i] + \mathcal{O}(\Delta x^2)} ,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} [\textbf{U}^n_{i} + \textbf{U}^n_{i-1}] - \frac{\Delta t}{2 \Delta x} [\textbf{F}^n_{i} - \textbf{F}^n_{i-1}] + \mathcal{O}(\Delta x^2)} ,

E encontramos os fluxos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{F}^{n+\frac{1}{2}}_{i \pm \frac{1}{2}}} a partir dos valores de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+\frac{1}{2}}_{i \pm \frac{1}{2}}.}

Logo, com um meio passo de Leapfrog, temos a expressão final do método:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textbf{U}^{n+1}_i = \textbf{U}^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} [\textbf{F}^{n + \frac{1}{2}}_{i + \frac{1}{2}} - \textbf{F}^{n + \frac{1}{2}}_{i - \frac{1}{2}}] + \mathcal{O}(\Delta x^2)}

Conclusões (?)

vsf caetano vsf doria vsf os dois vai tu anderson - dória aqui

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