Equação de Langevin

Artur Uhlik Fröhlich e Leonardo Dasso Migotto

O objetivo deste trabalho é resolver computacionalmente a equação de Langevin utilizando o método BAOAB[LEIMKUHLER.] Serão explorados os casos de partículas individuais livres ou sujeitas a um campo potencial, estudando os efeitos da variação do coeficiente de atrito no desvio quadrático médio e na transisão de fases.

Equação de Langevin

Esta equação diferencial estocástica descreve a evolução de um sistema quando sujeito a forças do tipo determinísticas e estocásticas simultâneamente. A sua aplicação mais popular é relativa ao movimento Browniano, o movimento de uma partícula macroscópica imersa em um fluído, sujeita à força de atrito excercida pelas partículas microscópicas do fluído. Neste caso, a equação pode ser escrita como:

\frac{d v}{d t} = - γ v / m + E (t) .

Na equação acima, $γ$ é o coeficiente de atrito e $E (t)$ é um ruído estocástico branco, que segue o Teorema Central do Limite com média 0 e desvio padrão relacionado à temperatura, a Constante de Boltzmann, $γ$ e a massa da partícula. A partir desta expressão, é possível descobrir a relação do coeficiente de difusão do fluído e os valores envolvidos na equação:

D = \frac{2 k_{B} T}{γ m}

Onde $D$ é o coeficiente de difusão do meio, $k_{B}$ é a constante de Boltzmann, $T$ é a temperatura e $m$ é a massa da partícula macroscópica. Outra relação conhecida, oriunda também da dinâmica molecular, é a do coeficiente de difusão e o desvio quadrático médio de uma partícula no meee:

Método BAOAB

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews ^[1] utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

\vec{r} (t + \frac{Δ t}{2}) = \vec{r} (t) + \frac{Δ t}{2} \vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) \frac{1}{m}

\vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) = \vec{p} (t) + \frac{Δ t}{2} \vec{f} (t)

\vec{p^{'}} (t + \frac{Δ t}{2}) = e x p (- γ Δ t) \vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) + \sqrt{1 - e x p (- 2 γ Δ t)} \sqrt{m k_{B} T} \vec{G}

O $\vec{G}$ aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:

\vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) = \vec{p} (t) + \frac{Δ t}{2} \vec{f} (t) (1)

\vec{r} (t + \frac{Δ t}{2}) = \vec{r} (t) + \frac{Δ t}{2} \vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) \frac{1}{m} (2)

\vec{p^{'}} (t + \frac{Δ t}{2}) = e x p (- γ Δ t) \vec{p} (t + \frac{Δ t}{2}) + \sqrt{1 - e x p (- 2 γ Δ t)} \sqrt{m k_{B} T} \vec{G} (3)

\vec{r} (t + Δ t) = \vec{r} (t + \frac{Δ t}{2}) + \frac{Δ t}{2} \vec{p^{'}} (t + \frac{Δ t}{2}) \frac{1}{m} (4)

\vec{p} (t + Δ t) = \vec{p^{'}} (t + \frac{Δ t}{2}) + \frac{Δ t}{2} \vec{f} (t) (5)

É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo $\vec{f}$ , já que ele pode depender de termos já atualizados como $\vec{p}$ ou $\vec{r}$ .

Referências

↑ Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8

[1] Leimkuhler, B., & Matthews, C. (2015). Molecular Dynamics: With Deterministic and Stochastic Numerical Methods. (Interdisciplinary Applied Mathematics; Vol. 39). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-319-16375-8

[1]

Equação de Langevin