Equação de Langevin

O método numérico escolhido para realizar a integração da equação é conhecido como BAOAB, desenvolvido por Leimkuhler e Mattews utilizado para resolver equações diferenciais estocásticas.

Ele faz o uso de um método de separação das equações entre as denominadas A, B e O, respectivamente representadas:

$\overrightarrow{r}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=\overrightarrow{r}(t)+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})\frac{1}{m}$

$\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=\overrightarrow{p}(t)+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{f}(t)$

$\overrightarrow{p^{\prime }}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=exp(-\gamma \mathrm{\Delta }t)\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})+\sqrt{1-exp(-2\gamma \mathrm{\Delta }t)}\sqrt{m{k}_{B}T}\overrightarrow{G}$

O $\overrightarrow{G}$ aqui representa um número aleatório Gaussiano que faz o papel da força estocástica.

A equação "A" realiza meio passo no tempo da distância, a "B" realiza um meio passo para o momentum e o "O" contabiliza a contribuição estocástica equação.

Essas equações podem formar vários algoritmos de integração mas o utilizado nesse trabalho será o BAOAB:

$\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=\overrightarrow{p}(t)+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{f}(t)(1)$

$\overrightarrow{r}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=\overrightarrow{r}(t)+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})\frac{1}{m}(2)$

$\overrightarrow{p^{\prime }}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})=exp(-\gamma \mathrm{\Delta }t)\overrightarrow{p}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})+\sqrt{1-exp(-2\gamma \mathrm{\Delta }t)}\sqrt{m{k}_{B}T}\overrightarrow{G}(3)$

$\overrightarrow{r}(t+\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{r}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{p^{\prime }}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})\frac{1}{m}(4)$

$\overrightarrow{p}(t+\mathrm{\Delta }t)=\overrightarrow{p^{\prime }}(t+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2})+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}\overrightarrow{f}(t)(5)$

É importante lembrar que entre os dois últimos passos é necessário atualizar o termo $\overrightarrow{f}$, já que ele pode depender de termos já atualizados como $\overrightarrow{p}$ ou $\overrightarrow{r}$.