Cálculo do valor inicial do índice Gini (Gaspar)

Em muitas simulações, a condição inicial do sistema de agentes é uma distribuição uniforme de riquezas, com valores compreendidos entre 0 e 1. O valor do índice Gini nessas condições é calculado abaixo.

Iniciamos com a definição do índice Gini. Para um sistema composto por $N$ agentes, temos

$G\equiv \frac{1}{(N-1)\sum _{i=1}^N{w}_i}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^N|w_j-w_k|$

Queremos calcular o valor médio de $G$ quando a distribuição for uniforme, ou seja,

$\begin{array}{ccc}⟨G⟩& =& ⟨\frac{1}{(N-1)\sum _{i=1}^N{w}_i}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^N|w_j-w_k|⟩\\ & & \\ & =& \frac{1}{(N-1)⟨\sum _{i=1}^N{w}_i⟩}⟨\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^N|w_j-w_k|⟩\\ & & \\ & =& \frac{1}{(N-1)\sum _{i=1}^N⟨w_i⟩}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^N⟨|w_j-w_k|⟩\\ \end{array}$

Temos, portanto, duas médias para calcular. A primeira é a riqueza média dos agentes, $⟨w_i⟩$, que pode ser intuída pelo fato de que a distribuição inicial de riqueza é uniforme entre 0 e 1. Com isso, é claro que

$⟨w_i⟩=\frac{1}{2}$

A outra, mais trabalhosa, é a média sobre a diferença de riqueza entre todos os pares possíveis de agentes: $⟨|w_j-w_k|⟩$.

Lembramos primeiro da definição de valor médio de uma variável aleatória contínua $x$ sobre o intervalo $[0,1]$:

$⟨x⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}xP(x)dx$

sendo $P(x)$ a função densidade de probabilidade associada à variável $x$ sobre o intervalo. Analogamente,

$⟨x^2⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}P(x)dx$

Se $y$ também for uma variável aleatória contínua, teremos

$⟨xy⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}xP(x)yP(y)dxdy$

Agora, temos que calcular $⟨|w_j-w_k|⟩$, o que implica resolver

$⟨|y-x|⟩=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}|y-x|dxdy$

Note que como a distribuição inicial de riqueza é uniforme e o intervalo de riqueza é $[0,1]$, tanto $P(x)$ como $P(y)$ equivalem à unidade. O problema é que não podemos integrar diretamente o módulo no integrando. Temos que considerar os dois casos possíveis:

$|y-x|=\{\begin{array}{l}y-x,y>x\\ x-y,y<x\end{array}$

A integral dupla pode ser resolvida em duas partes, uma para cada caso. Consideremos então o caso $y>x$. Se a integral em $y$ "varrer" todo o intervalo, a integral em $x$ só poderá varrer o pedaço do intervalo entre 0 e $y$, pois somente assim satisfaremos $y>x$ sempre. Portanto, o primeiro caso conduz a

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{0}{\overset{y}{\int }}(y-x)dx=\frac{1}{6}$

Usando um raciocínio análogo, reparamos que para o caso $x>y$, a integral em $x$ deverá varrer valores suficientemente grandes, que sempre sejam superiores a $y$, conduzindo a

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dy\underset{y}{\overset{1}{\int }}(x-y)dx=\frac{1}{6}$

Com isso,

$⟨|y-x|⟩=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$

Substituindo os resultados obtidos na expressão de $⟨G⟩$, temos

$\begin{array}{ccc}⟨G⟩& =& \frac{1}{(N-1)\sum _{i=1}^{N}1/2}\sum _{j=1}^{N-1}\sum _{k=j+1}^{N}1/3\\ & & \\ & =& \frac{2}{3(N-1)N}\sum _{j=1}^{N-1}(N-j)\\ & & \\ & =& \frac{2}{3(N-1)N}(N\sum _{j=1}^{N-1}-\sum _{j=1}^{N-1}j)\\ & & \\ & =& \frac{2}{3(N-1)N}(N(N-1)-\frac{N(N-1)}{2})\\ & & \\ & =& \frac{2}{3(N-1)N}\left(\frac{N(N-1)}{2}\right)\\ & & \\ & =& 1/3\\ \end{array}$

Note que usamos a "famosa fórmula" para a soma das bolinhas empilhadas em forma de triângulo:

$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$