Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier

Forecasting é uma palavra da língua inglesa que dá ideia de fazer uma previsão que pode não ser certeira, esta é a palavra que define bem o que realizamos ao longo deste trabalho. A ideia é fazer um forecasting do preço das ações de determinada empresa (utilizamos neste trabalho os dados do Magazine Luiza/MGLU3) utilizando de métodos matemáticos e futuramente estatísticos junto de algoritmos escritos na linguagem Python.

Mercado de ações

O mercado de ações de uma forma mais generalizada é quando temos um conjunto de empresas colocando à venda uma porcentagem/fração de seu capital social, esta fração é conhecida como uma ação. O valor de uma ação é volátil, podendo variar muito tanto para cima quanto para baixo em um curto intervalo de tempo, podendo trazer grandes lucros ou grandes prejuízos, como por exemplo: Em 2021 o preço unitário de uma ação do Magazine Luiza custava em média 20 reais, e hoje (09/05/2022) o preço não passa dos 5 reais. Uma queda tão drástica quanto esta traz aos investidores inúmeras inseguranças e incertezas quanto ao futuro, se seria viável investir novamente ou não. Para o entendimento do que foi feito neste trabalho, o que foi dito é o suficiente, porém quanto mais conhecimento sobre mundo financeiro, melhor o aproveitamento. Recomendamos o livro “Os Axiomas de Zurique” para o leitor interessado em entender mais sobre o assunto.

Figura 1: Comportamento de 3 ações das empresas Magazine Luiza, B2W Digital(responsável pelas lojas Americanas, etc) e ViaVarejo (Casas Bahia, Ponto Frio, etc).

Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano . Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?). Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 , com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados . Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio. Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em . Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

$dS_{t}=\mu S_{_{t}}dt+\sigma S_{_{t}}dW_{t}$

Onde $S(t)$ é processo estocástico, $W_{t}$ um processo de Wiener, $\mu$ é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

$S(t)=S(o)e^{(\mu -(\sigma ^{2})/2)t+\sigma Wt}$

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

Aplicação: Mercado Financeiro

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde. O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) .

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais. Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento:

• Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. .
• Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão.
• Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível . O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano  ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

$S(t)=S(o)e^{(\mu -(\sigma ^{2})/2)t+\sigma Wt}$

Onde $S(t)$ é o valor futuro da ação, $S(o)$ é o valor inicial da ação, $\mu$ é o deslocamento (“drift”) diário, $\sigma$ é a volatilidade diaria e $W_{t}$ é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo)

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.

Simulações

A ideia é gerar números pseudo-aleatórios com um comportamento provável do preço da ação, os resultados serão discutidos mais adiante.

Para fazer as simulações foram necessárias 6 etapas.

Etapa 1: Adquirir os dados

Utilizamos o Google Sheets para baixar um documento .csv que continha todos os dados necessários, na figura abaixo é possível ver como os dados estão distribuídos na planilha.

Temos na tabela os valores máximos, mínimos, de abertura e fechamento de preço das ações, junto de sua data e volume (que não nos interessa).

Figura 2: Tabela de dados da Magazine Luiza. Para baixar uma tabela neste formato, basta utilizar o comando GOOGLEFINANCE() do próprio Google Sheets.

Etapa 2: Cálculos iniciais necessários

Precisamos da Taxa de Retorno Diária, Volatilidade Diária e Desvio Médio para poder gerar um número pseudo-aleatório que tenha um comportamento similar ao do preço da ação. Antes, é interessante fazer um paralelo entre mercado financeiro e o MBG.

Mundo Financeiro	Movimento Browniano Geométrico
Taxa de Retorno Diária	$\mu$
Volatilidade Diária	$\sigma$
Desvio Médio	$Drift$

Para calcular a Taxa de Retorno Diária fazemos:

$\mu =\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {xi}{n}}\right)$

onde a soma de $xi$ é a taxa de retorno anual, já $n$ é a quantidade de dias que o mercado ficou aberto para trocas. Esta taxa dita o tamanho médio do passo em que a simulação percorrerá.

Agora para calcular a Volatilidade Diária:

$\sigma ={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(xi-\mu \right)^{2}}{n}}$

onde o somatório da diferença da Taxa de Retorno Diária menos uma parte da taxa de retorno anual é chamada de Volatilidade Anual. A volatilidade mostra o tamanho base extra que a simulação irá percorrer.

Por último temos o Drift, que mostra o tamanho e direção do passo dado na simulação (considerando uma distribuição normal):

$Drift=\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}$

Etapa 3: Aplicar à simulação

Utilizando o MBG, a tabela com as informações das ações e os valores calculados acima, é possível calcular o preço futuro da ação com base no que já ocorreu da seguinte forma:

$S\left(t\right)=S\left(0\right)e^{\left(Drift\right)t+\sigma Z}$

onde $S\left(t\right)$ é o preço futuro da ação, $=S\left(0\right)$ é o preço atual da ação e $Z$ é um número aleatório de 0 até 1 que segue uma distribuição normal.