Movimento Browniano Geométrico para Previsão no Mercado de Ações

Grupo: Eric Naiber, Vitória Xavier

Resumo

Introdução

Movimento browniano e Movimento Browniano Geométrico

Em 1828, o biólogo Robert Brown observou comportamento irregular e ininterrupto de corpúsculos biológicos e partículas inorgânicas suspensas em água, o que posteriormente foi nomeado de Movimento Browniano . Acreditava-se que esse movimento aleatório tratava-se de uma nova forma de vida. Quase 80 anos se passaram com diferentes pesquisadores tentando desvendar a natureza do movimento browniano até que Einstein, em 1905, obteve a expressão matemática que caracterizou esse comportamento. Não tratava-se de um fenômeno biológico, mas sim físico. Mostrou que o movimento das partículas suspensas em água se dá pelo choque com outras partículas, gerando movimento não contínuo (?). Sua solução representou grandes avanços para física e química, e dentre elas lançou as bases de uma das teorias mais bem sucedidas para a modelagem de sistemas naturais.

Einstein, em 1905 , com relação ao primeiro experimento em que o movimento browniano foi observado, demonstrou que o número de partículas suspensas em um ponto do espaço com relação a um instante temporal assumia uma distribuição gaussiana. Além disso, o MB é um processo markoviano, dado que seu estado futuro depende apenas do presente, e não de eventos passados . Portanto, o movimento Browniano é tido como um modelo referencial para processos estocásticos e usado para entender diferentes sistemas em não equilíbrio (?). Esse modelo pode ser aplicado no estudo de comportamento de diversos sistemas dotados de movimentos aleatórios cuja distribuição de probabilidades seja gaussiana.

O movimento browniano geométrico é a distribuição logarítmica do movimento browniano, gerando apenas valores positivos e provocando um deslocamento na curva gaussiana pelo qual o MB é caracterizado. Sua dedução pode ser encontrada em . Ele é definido pela equação diferencial estocástica abaixo:

$dS_{t}=\mu S_{_{t}}dt+\sigma S_{_{t}}dW_{t}$

Onde $S(t)$ é processo estocástico, $W_{t}$ um processo de Wiener, $\mu$ é percentagem de deriva ou deslocamento e percentagem de volatilidade são constantes.

Sua solução é dada por:

$S(t)=S(o)e^{(\mu -(\sigma ^{2})/2)t+\sigma Wt}$

Tal como MB é um processo de Markov, o movimento browniano geométrico também é: o futuro é determinado a partir do presente e não de eventos passados.

Aplicação: Mercado Financeiro

Mercado financeiro é a plataforma de compra e venda de ativos financeiros, sendo eles ações, títulos, mercadorias e linhas de crédito. Seus agentes são o investidor, que tem o papel de emprestar dinheiro com a expectativa de receber lucro sobre ele, e o tomador de dinheiro, pessoa física ou jurídica que toma o dinheiro e o devolve ao investidor com juros mais tarde. O mercado de capitais é o setor do mercado financeiro que negocia as operações de venda e compra de ações. O investidor, ao comprar a ação, pode participar da sociedade da empresa ou receber parte do lucro dela. O objetivo do investidor é ganhar dinheiro com a valorização das ações e de sua venda.

No Brasil, essa plataforma de negociação é a bolsa de valores IBOVESPA, localizada em São Paulo. Em 2021, mais de 400 companhias brasileiras estavam listadas na B3 (como também chama-se a IBOVESPA) .

O valor de uma ação flutua dependendo de diferentes fatores, como economia, geopolítica, etc. Por isso, toda compra e venda de ações possui um risco intrínseco de perda de dinheiro devido à dificuldade de estimar o valor futuro. O investidor deve constantemente estar buscando informações para auxiliar no seu processo de decisão sobre compra, venda ou manutenção dos capitais. Os principais parâmetros para entender a movimentação do mercado de capitais são o preço das ações, a volatilidade financeira e o retorno de investimento. - Preço da ação: é o valor máximo recebido ao para vender uma ação ou o valor mínimo pago para comprar a ação. . - Volatilidade financeira: vulnerabilidade que o preço da ação tem a eventos, causando grandes oscilações do seu valor. É um parâmetro importante para garantir segurança na tomada de decisão. - Retorno sobre investimento: é o de lucro ou perda que o investidor teve sobre o valor investido.

O comportamento do mercado financeiro é estudado a partir de diferentes abordagens, com objetivo de elaborar estratégias para previsão dos índices ou preços futuros das ações, buscando maximizar o lucro do investidor.

A teoria do passeio aleatório é utilizada no campo das finanças, onde descreve que os processos no mercado de ações evoluem como um passeio aleatório e que predição não é possível . O próximo movimento será determinado a partir do estado atual e não de estados passados, configurando um processo markoviano  ?

Assumindo que o mercado de ações possui comportamento estocástico e similar ao passeio aleatório, é possível utilizar modelos matemáticos que, a partir de dados que descrevem o cenário de compra e venda atual, descrevem possíveis cenários futuros de preço de ações e auxiliam o investidor a tomar decisões menos arriscadas.

Como citado na seção acima, o movimento Browniano é um tipo de caminhada aleatória. O movimento browniano geométrico, variação do movimento browniano padrão, assume apenas valores positivos e é amplamente utilizado no mercado financeiro Aplicado ao mercado de ações, é definido pela equação:

$S(t)=S(o)e^{(\mu -(\sigma ^{2})/2)t+\sigma Wt}$

Onde $S(t)$ é o valor futuro da ação, $S(o)$ é o valor inicial da ação, $\mu$ é o deslocamento (“drift”) diário, $\sigma$ é a volatilidade diaria e $W_{t}$ é o processo de Wiener.

O MBG é um modelo muito utilizado no mercado financeiro por assumir propriedade markoviana (similar ao mercado de ações real[ref]), gerar apenas valores reais e ser de fácil implementação. Suas desvantagens é que o parâmetro volatilização é constante e não tem os “jumps” eventos maiores afetando o cenário (o caminho não é descontínuo)

O MBG é assumido no modelo de Black-Scholes, o modelo avançado e bastante utilizado nas simulações de economia. A ideia central deste modelo é enxergar o mercado como um sistema dinâmico de muitos corpos, tornando possível traçar analogias com conceitos da termodinâmica.

Esse trabalho irá trabalhar com o MBG apenas.