Método de Monte Carlo e transformações

De Física Computacional
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Transformação linear

Sorteando um número aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\in\left[0,1\right)} então fazemos uma transformação para obter um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\in\left[ a,b\right)} . Isto é, obtemos a seguinte transformação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle f:\left[ 0,1\right)\rightarrow\left[ a,b\right)} da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y\left(x\right)=a+\left(b-a\right)x}

Se todos os números entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 1} tinham igual probabilidade de serem sorteados, após a transformação todos os números entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b} também possuem igual probabilidade, pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y} varia com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} de forma linear, isto é, a distribuição uniforme de números é mantida.Por sua vez, a distribuição uniforme significa que a probabiliade de obter um número entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x+dx} é dada pela função densidade de probabilidade da seguinte forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(x\right)dx=\begin{cases} dx, & 0<x<1\\ 0, & \text{outra forma} \end{cases}}

Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(x\right)=p} constante, temos que: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}dx=p\int_{0}^{1}dx=p=1}

Pela normalização. Mas se ampliarmos o intervalo dos números possíveis para entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle b} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}p'dx=\int_{a}^{b}p'dx=p'\int_{a}^{b}dx=p'\left(b-a\right)=1}

Então agora Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(y\right)=p'=1/\left(b-a\right)} . Isto é distribuição de probabilidade continua constante, mas com uma menor probabilidade de sortear um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y} qualquer, quando em comparação de sortear um Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} qualquer.

Transformação não-linear

O mesmo não ocorre com uma transformação não linear. Por exemplo se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(x\right)=4x^{2}} , derivando temos que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=8x\quad\longrightarrow\quad dy=8xdx}

Diferente do caso anterior que tínhamos apenas a transformação linear Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dy=\left(b-a\right)dx} . Podemos ver ainda usando a própria definição de derivada:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} y\left(x+dx\right)-y\left(x\right) & =4\left(x+dx\right)^{2}-4x^{2}\\ & =4x^{2}+4xdx+dx^{2}-4x^{2}\\ & =4\cdot2xdx+dx^{2}\end{align}}

E sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dx} um diferencial então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dx^{2}\approx0} , logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle dy=8xdx} . Agora a distribuição de probabilidade é alterada com a transformação. Para uma transformação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(x\right)} qualquer, como a probabilidade se conserva, ainda temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|p\left(y\right)dy\right|=\left|p\left(x\right)dx\right|}

Considrando que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=y\left(x\right)} tem inversa, então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=x\left(y\right)} então:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \left|p\left(y\right)dy\right|= & \left|p\left(x\right)dx\right|\\ p\left(y\right)\left|dy\right|= & p\left(x\right)\left|dx\right|\\ p\left(y\right)= & p\left(x\right)\left|\frac{dx}{dy}\right|\end{align}}

Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y\left(x\right)=-\ln\left(x\right)} então reescrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x=e^{-y}} , logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac{dx}{dy}=-e^{y}} Então temos:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(y\right)=p\left(x\right)e^{-y}}

E sendo nossa ditribuição em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x} uniforme com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(x\right)=p=1} como vimos anteriormente, ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(y\right)=e^{-y}}

Para a transformação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle y=-\ln\left(x\right)} . O mais comum é que saibamos a distribuição de probabilidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(y\right)} que queremos, e uma vez que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\left(y\right)=\left|\frac{dx}{dy}\right|}

E integramos então para encontrar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle x\left(y\right)} .

Método da rejeição

Nem sempre o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(y\right)} desejado é fácil de definir matematicamente. O método da rejeição é um método rústico para obtermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(y\right)} .

  • Desenhar a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle p\left(y\right)} desejada dentro dos limites Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle a\leq y<b} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle 0\leq p\left(y\right)\leq p_{max}} .
  • Geramos um ponto aleatório Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \left(y,p\left(y\right)\right)} , se estiver abaixo da curva desejada é aceito.

Se gerarmos pontos aleatórios em grande quantidade, a razão de pontos aceitos para cada em relação à todos o pontos aleatórios gerados neste , nos dá uma estimativa de neste ponto, em relação do . Isto é, se para um qualquer, metade dos pontos gerado aleatoriamente foram válidos, então .

Cálulo de integrais definidas

Em uma ideia bastante análoga à anterior, aqui utilizamos a ideia que a integral definida é cálculo da área sob a curva. Definindo novamente limites e no qual a região que queremos calcular está contida, geramos uma série de pontos aleatórios, se gerado pontos suficientes, a razão de pontos que foram gerados dentro da área que queremos calcular em relação ao total de pontos gerados, será a mesma razão da área que queremos calcular em relação à área total definida pelos limites. 

#Cálculo da área de um círculo
import matplotlib.pyplot as plt   #Plotar gráfico
import numpy as np                #Funções matemáticas
import random                     #Números aleatórios

r=1                               #Raio do círculo
Np=1000000                        #Número de pontos
hitx=[];hity=[];missx=[];missy=[] #Gurdar resultados
for n in range(Np):
  x=random.random()*2-1           #Pontos aleatórios gerados entre -1 e +1 
  y=random.random()*2-1           #Pontos aleatórios gerados entre -1 e +1
  if(np.sqrt(x**2+y**2)<=r):      #Se o ponto caiu dentro do círculo
    hitx.append(x);hity.append(y)
  else:
    missx.append(x);missy.append(y)

#Plotar o círculo
x=np.arange(-1,1,1E-5)
plt.plot(x,-np.sqrt(r-x**2),'-k')
plt.plot(x,np.sqrt(r-x**2),'-k')
#Plotar pontos
plt.plot(hitx,hity,'or')
plt.plot(missx,missy,'ob')

#Cálcular a área
a_ret=2*2                         #Área do retângulo: geramos pontos entr -1 e +1 na duas dimensões, então é um quadrado de lado 2
a_cir=a_ret*len(hitx)/Np          #A_ret *(hit/N)
print('A área do círculo estimada é: {:.2f}'.format(a_cir))
print('A área do círculo exata    é: {:.2f}'.format(np.pi*r**2))
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