Runge-Kutta 2ª ordem

No método explícito de euler tínhamos:

$\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n} + f (t_{n}, y_{n}) Δ t \end{aligned}$

Sendo $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ . Podemos reescrever como:

$\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n} + a k_{1} \end{aligned}$

Onde $a = 1$ e $k_{1} = f (t_{n}, y_{n}) Δ t$ . Agor se supormos uma solução:

$\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n} + a k_{1} + b k_{2} (1) \end{aligned}$ Com o termo adicional dependendo de uma posição genérica $y_{n} + c f (t_{n}, y_{n}) Δ t$ em um tempo genérico $t + d Δ t$ , isto é $k_{2} = f (t_{n} + d Δ t, y_{n} + c f (t_{n}, y_{n}) Δ t) Δ t$ . Usando o fato de que $k_{1} = f (t_{n}, y_{n}) Δ t$ , podemos escrever então que:

$k_{1} = f (t_{n}, y_{n}) Δ t$
$k_{2} = f (t_{n} + d Δ t, y_{n} + c k_{1}) Δ t$

Agora lembrando a expansão em série de taylor que também vimos no método explícito e Euler:

$y (t + Δ t) = y (t) + y^{'} (t) Δ t + y^{″} (t) \frac{Δ t^{2}}{2} + \sum_{n = 3}^{\infty} y^{(n)} (t) \frac{Δ t^{n}}{n!}$

Abrindo a segunda derivada, temos:

$\begin{aligned} y^{″} (t) = \frac{d^{2}}{d t^{2}} y (t) & = \frac{d}{d t} f (t, y) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} = \frac{\partial f}{\partial t} + f (t, y) \frac{\partial f}{\partial y} \end{aligned}$

Substituindo então, e escrevendo apenas $𝒪 (Δ^{3}) = \sum_{n = 3}^{\infty} y^{(n)} (t) \frac{Δ t^{n}}{n!}$ , temos a seguinte expansão em série de Taylor:

$y (t + Δ t) = y (t) + y^{'} (t) Δ t + (\frac{\partial f}{\partial t} + f (t, y) \frac{\partial f}{\partial y}) \frac{Δ t^{2}}{2} + 𝒪 (Δ^{3}) (2)$

Vamos expandir $k_{2}$ . Uma expansão de Taylor de primeira ordem para uma função de 2 variáveis em torno de $(a, b)$ é dado por ^[1]:

$f (x, y) \approx f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$

Onde $f_{a}$ denota a derivada da função $f$ na variável $a$ . Para o nosso caso, temos então para uma expansão em torno de $(x, y)$ :

$f (x + Δ x, y + Δ y) \approx f (x, y) + f_{x} (x, y) Δ x + f_{y} (x, y) Δ y$

Expandindo então $k_{2}$ em torno de $(t_{n}, y_{n})$ temos:

$k_{2} \approx [f (t_{n}, y_{n}) + d Δ t \frac{\partial}{\partial t} f (t_{n}, y_{n}) + c k_{1} \frac{\partial}{\partial y} f (t_{n}, y_{n})] Δ t$

Aqui podemos notar que $Δ t$ multiplica a expansão da função, então quando desprezamos os termos de segunda ordem da expansão de $f (x + Δ x, y + Δ y)$ , deprezamos os termos de terceira ordem de $k_{2}$ . Substituindo então o $k_{2}$ aproximado e $k_{1}$ na equação 1, temos:

$y_{n + 1} = y_{n} + a f (t_{n}, y_{n}) Δ t + b [f (t_{n}, y_{n}) + d Δ t \frac{\partial}{\partial t} f (t_{n}, y_{n}) + c f (t_{n}, y_{n}) Δ t \frac{\partial}{\partial y} f (t_{n}, y_{n})] Δ t$

Manipulando:

$y_{n + 1} = y_{n} + (a + b) f (t_{n}, y_{n}) Δ t + [2 b d \frac{\partial}{\partial t} f (t_{n}, y_{n}) + 2 b c f (t_{n}, y_{n}) \frac{\partial}{\partial y} f (t_{n}, y_{n})] \frac{Δ t^{2}}{2} (3)$

Comparando a aproximação 3 com a expansão 2 temos a seguinte relação:

$\begin{aligned} a + b & = 1 \\ b d & = \frac{1}{2} \\ b c & = \frac{1}{2} \end{aligned}$ Diferentes conjuntos de valore satisfazem este sistema. O método do ponto médio é obtido se ecolhermos: $d = c = \frac{1}{2}$ , $b = 1$ e $a = 0$ :

$k_{2} = f (t_{n} + \frac{Δ t}{2}, y_{n} + \frac{k_{1}}{2}) Δ t$

Então:

$\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n} + f (t_{n} + \frac{Δ t}{2}, y_{n} + f (t_{n}, y_{n}) \frac{Δ t}{2}) Δ t \end{aligned}$

O método de Heun é obtido se for escolhido $a = b = \frac{1}{2}$ e $c = d = 1$ :

$k_{1} = f (t_{n}, y_{n}) Δ t$
$k_{2} = f (t_{n} + Δ t, y_{n} + k_{1} Δ t) Δ t$

$\begin{aligned} y_{n + 1} & = y_{n} + (k_{1} + k_{2}) \frac{1}{2} \end{aligned}$

Uma observação, é que o erro global no algoritmo de Runge-Kutta de segunda ordem é $𝒪 (Δ^{2})$ e o local é $𝒪 (Δ^{3})$ .

Exemplo

Aplicando o algoritmo para o sistema massa-mola visto no método de Euler-Cromer: $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = - \frac{k}{m} x = - ω^{2} x$

Podemos ressaltar ainda que $a = - ω^{2} x$ e $\frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}}$ .

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.0001 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de segunda ordem, no método do ponto médio
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it],w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Solução
  x.append(x[it]+k2x)
  v.append(v[it]+k2v)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

#plt.plot(t,x)
#plt.plot(t,v)
#plt.plot(t,E)
plt.plot(x,v)

Runge-Kutta 4ª ordem

O método de Runge-Kutta de quarta ordem segue uma ideia similar e pode ser obtido utilizando a mesma técnica. Porém agora vamos ignorar termos de ordem $Δ t^{5}$ ou superior, então será necessário lidar com uma enorme quantidade de termos, o que torna a tarefa exaustiva e repetitiva. Logo não será feito esta demonstração aqui, mas o algoritmo de Runge-Kutta de quarta ordem pode ser dado por:

$k_{1} = f (y_{n}, t_{n}) Δ t$
$k_{2} = f (y_{n} + \frac{k_{1}}{2}, t_{n} + \frac{Δ t}{2}) Δ t$
$k_{3} = f (y_{n} + \frac{k_{2}}{2}, t_{n} + \frac{Δ t}{2}) Δ t$
$k_{4} = f (y_{n} + k_{3}, t_{n} + Δ t) Δ t$

E por fim, temos então que o novo valor será dado por:

$y_{n + 1} = y_{n} + \frac{1}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})$

Exemplo

Vamos resolver o mesmo exemplo anterior, porém agora utilizando o Range-Kutta de quarta ordem.

import matplotlib.pyplot as plt            #Biblioteca para plotar gráficos
import numpy as np                         #Biblitoeca de cálculos científicos

#Taxas de variação
def fv(x,w2):      #Velocidade
  return (-w2*x)
def fx(v):
  return (v)       #Posição

#Constantes
m=1  ; k= 1.; w2= k/m
#Parâmetros
dt  = 0.01 ; tau = 2*np.pi; tf=4*tau ; Np= int(tf/dt)
#Valores iniciais
x=[1]; v=[0]; t=[0]; E=[k*x[0]**2/2+m*v[0]**2/2]

#Método Range-Kutta de quarta ordem
for it  in range(Np):
  #Primeira etapa
  k1x = fx(v[it])*dt
  k1v = fv(x[it]     ,w2)*dt
  #Segunda etapa
  k2x = fx(v[it]+k1v/2)*dt
  k2v = fv(x[it]+k1x/2,w2)*dt
  #Terceira etapa
  k3x = fx(v[it]+k2v/2)*dt
  k3v = fv(x[it]+k2x/2,w2)*dt
  #Quarta etapa
  k4x = fx(v[it]+k3v)*dt
  k4v = fv(x[it]+k3x,w2)*dt
  #Solução:
  x.append(x[it]+(k1x+2*k2x+2*k3x+k4x)/6)
  v.append(v[it]+(k1v+2*k2v+2*k3v+k4v)/6)
  #Energia
  E.append(k*x[it+1]**2/2+m*v[it+1]**2/2)
  #Tempo
  t.append(dt+it*dt)

plt.plot(t,x)
plt.plot(t,v)
plt.plot(t,E)
#plt.plot(x,v)

Ainda podemos chamar a atenção para o fato de que devemos intercalar os coeficientes $k_{i}$ em ambos os métodos, uma vez que coeficientes seguintes dependem dos valores anteriores.

Principais materiais utilizados

Métodos de Runge-Kutta explícitos (REAMAT, UFRGS)
Runge-Kutta Methods (Michael Zeltkevic, Instituto de Tecnologia de Massachusetts)
Second Order Runge-Kutta (Erik Cheever, Swarthmore)

Citações

↑ Taylor Polynomials of Functions of Two Variables ( Paul Seeburger, LibreTexts)

[1] Taylor Polynomials of Functions of Two Variables ( Paul Seeburger, LibreTexts)

[1]

Método de Runge-Kutta 2ª e 4ª ordem

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Exemplo

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