Comparação entre regra do mínimo e regra do perdedor (Gaspar)

1. Regra do mínimo e regra do perdedor

Nas miniaturas, temos gráficos da relação entre os parâmetros investigados (o índice Gini, o índice $\theta$ e a autocorrelação) com o parâmetro de assimetria $f$ em duas variantes: pela a regra do mínimo e pela regra do perdedor. Na primeira, a quantidade de riquezas envolvida em cada transação é "limitada": os agentes põem em jogo uma fração da sua riqueza de acordo com o seu risco, e o vencedor da aposta recebe do perdedor uma quantia igual à menor das apostas, ou seja, o menor entre

$(\beta _{i}w_{i},\beta _{j}w_{j})\;$

sendo $\beta$ o risco de um agente, e $w$ a sua riqueza.

Na regra do perdedor, o agente vencedor da transação recebe tudo o que o agente perdedor apostou. Em termos pouco técnicos, com a regra do perdedor, um agente sempre tem a chance de "ganhar uma bolada", por mais pobre que ele seja. Na regra do mínimo, se um agente tem muito pouca riqueza, será muito difícil para ele vencer consecutivamente várias transações a ponto de poder acumular uma quantidade significativamente maior, visto que a quantidade de riqueza que ele pode adquirir em uma transação é limitada pela pela quantia que ele puder apostar.

Probabilidade de vitória do agente mais pobre

A probabilidade do agente mais pobre vencer uma transação é definida pela fórmula

$p(f,w_{i},w_{j})\equiv {\frac {1}{2}}+f{\frac {|w_{i}-w_{j}|}{w_{i}+w_{j}}}$

em que $w_{i}$ e $w_{j}$ são as riquezas dos $i$- e $j$-ésimos agentes, e $f$ é denominado de parâmetro de assimetria, que pode assumir valores entre 0 e 0,5. O parâmetro de assimetria procura simular "ajuda externa" (e. g., programa de incentivo por parte do governo) aos indivíduos de baixa renda, visto que aumenta a probabilidade desses indivíduos vencerem uma transação. Além disso, vemos também que a diferença de riqueza entre os agentes da transação contribui com o favorecimento dos agentes mais pobres.

2. Não-estabilização de algumas curvas

Vale lembrar que o valor de cada um dos parâmetros é obtido em tempos suficientemente grandes da simulação: quanto mais tempo se passar, mais próximos estarão os parâmetros dos seus respectivos valores assintóticos (estes vindo a ser os valores procurados de fato). Entretanto, para parâmetros de assimetria pequenos ($f\lesssim 0.15$), o tempo necessário para que um parâmetro atinja um valor razoavelmente próximo do seu valor assintótico excede o tempo total da simulação. Como conseqüência, a discrepância entre o valor assintótico (que não foi atingido) e o valor medido para o parâmetro é apreciavelmente maior. Esse fato ocorre nos seguintes gráficos:

$G(t)\times t$ (regra do mínimo)

$\theta (t)\times t$ (regra do mínimo)

$corr(t)\times t$ com f = 0.20, 0.14, 0.08 (regra do mínimo)

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As definições dos parâmetros são:

$G={\frac {\sum _{i,j \atop i\neq j}^{N}|\omega _{i}-\omega _{j}|}{(N-1)\sum _{i}^{N}\omega _{i}}}$

$\theta =\log \left(\langle \omega ^{2}\rangle -\langle \omega \rangle ^{2}\right)-{\frac {2}{N}}\sum _{j=1}^{N}\log \left(\omega _{j}+10^{-20}\right)$

$corr(\tau ,t)={\frac {\sum _{i}^{N}\omega _{i}(\tau )\omega _{i}(\tau +t)}{\sum _{i}^{N}\omega _{i}(\tau )\omega _{i}(\tau )}}$
sendo $N$ o número de agentes do sistema, $w_{i}$ a riqueza do i-ésimo agente, e $\tau$ um certo tempo característico em relação ao qual será medida a autocorrelação do sistema, ou seja, medimos a autocorrelação em um certo tempo $t>\tau$ em relação ao estado do sistema em $t=\tau$.
Observação: a definição original de $\theta$ apresenta uma média geométrica entre a riqueza dos agentes. A definição que apresentamos acima é na verdade o logaritmo decimal do parâmetro $\theta$ original (é uma adaptação) por motivos de cálculo computacional. O cálculo de um produtório envolvendo fatores menores do que 1 (caso geral da riqueza dos agentes) conduz a um expoente cada vez menor, geralmente excedendo a resolução numérica do computador (underflow). Entretanto, consideramos essa adaptação válida pelo fato de buscarmos sempre o regime de estabilidade do parâmetro que, em princípio, não deve mudar com a transformação logarítmica.

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Gráficos dos parâmetros em função do tempo para diversos $f$:

• Gaspar 2006-07-10-ginis-VS-t-MINIMUM.jpg

  gini x t (minimum)

• Gaspar 2006-07-10-thetas-VS-t-MINIMUM.jpg

  theta x t (minimum)

• Gaspar 2006-07-10-MINIMUM-corr-VS-t-f20.jpg

  corr x t; f = 0.20(minimum)

• Gaspar 2006-07-10-MINIMUM-corr-VS-t-f14.jpg

  corr x t; f = 0.14(minimum)

• Gaspar 2006-07-10-MINIMUM-corr-VS-t-f08.jpg

  corr x t; f = 0.08 minimum)

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Gráficos dos parâmetros medidos como função de $f$ após o tempo de estabilização*:

• Gaspar 2006-07-10-GINI-loser-VS-minimum.jpg

  gini x f

• Gaspar 2006-07-10-THETA-loser-VS-minimum.jpg

  theta x f

• Gaspar 2006-07-10-CORR-loser-VS-MINIMUM.jpg

  corr x f

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Histogramas finais de distribuição de renda para regras do mínimo e do perdedor. Observe que, na regra do mínimo, as declividades na região de alta renda parecem não permanecer no valor -2 para nenhum f, opostamente à regra do perdedor (em que as declividades têm valores mais bem definidos):

• Gaspar 2006-09-03-histos-MINIMUM-gnulog.png

  histo(minimum)

• Gaspar 2006-09-03-histos-LOSER-gnulog2.png

  histo(loser)

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Primeiras comparações entre regras com número de agentes diferentes:

• Gaspar Zzzxxx-LOSER-MINIMUM-gini-f-1.jpg

  gini x f

• Gaspar Zzzxxx-LOSER-MINIMUM-theta-f-1.jpg

  theta x f

• Gaspar Zzzxxx-LOSER-MINIMUM-corr-f-1.jpg

  corr x f