Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis $u$ e $v$, a reação pode ser representada como

$u+2v\to 3v$

Isso significa que uma molécula da substância $u$ é transformada em uma molécula da substância $v$ por meio da ação de outras duas moléculas da substância $v$, ou seja, $v$ é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações $u$ e $v$ mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., $3v\to u+2v$) não ocorre.

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}& =-u{v}^2+F(1-u)+D_u{\mathrm{\nabla }}^{2}u\\ \frac{\partial v}{\partial t}& =u{v}^2-(F+k)v+D_v{\mathrm{\nabla }}^{2}v(1)\\ \end{array}$

A primeira das equações acima pode ser interpretada da seguinte forma. Em um dado ponto, a variação na concentração $u$ aumenta proporcionalmente ao laplaciano de $u$ naquele ponto, i.e., quando a concentração $u$ na vizinhança desse ponto é alta; e proporcionalmente à taxa $F$ de reposição de $u$ (taxa de alimentação, ou feed rate). A concentração $u$ diminui com o termo reativo $-u{v}^2$, que representa a reação $u+2v\to 3v$.

De outro lado, na segunda das equações acima, a concentração $v$ aumenta com o termo reativo $u{v}^2$ e também proporcionalmente ao laplaciano de $v$ naquele ponto, mas diminui com a remoção de $v$ a uma taxa $F+k$, mais rápida, portanto, do que a reposição de $u$.

$F$ e $k$ são os parâmetros do modelo, juntamente com os coeficientes de difusão $D_u$ e $D_v$.

O sistema pode ser imaginado como consistindo em duas substâncias $u$ e $v$, envoltas por uma membrana semipermeável e imersas em um meio em que essas mesmas duas substâncias estão presentes. A membrana permite a entrada da substância $u$, mas não da substância $v$, e permite a saída da substância $v$, mas não da substância $u$ .

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F,k$ e dos coeficientes de difusão $D_u,D_v$ das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor $\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0$ nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão ($D_u=D_v=0$), obtém-se o seguinte sistema de equações:

$\begin{array}{rl}-& u{v}^2+F(1-u)=0\\ & u{v}^2-(F+k)v=0(2)\\ \end{array}$

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis $u$ e $v$:

$F(1-u)-(F+k)v=0\Rightarrow u=1-\gamma v(3)$

onde definiu-se o parâmetro auxiliar $\gamma =\frac{F+k}{F}$.

Substituindo $u$ na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo $F+k=\gamma F$), ficamos com:

$(1-\gamma v)v^2-\gamma Fv=0\Rightarrow -\gamma v^3+v^2-\gamma Fv=0(4)$

Evidentemente, $v=0$ é solução dessa equação, implicando em $u=1$, como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando $v\ne 0$, podemos dividir (4) por $v$, ficando com $-\gamma v^2+v-\gamma F=0$. Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para $v$:

$v_{\pm }=\frac{1}{2\gamma }(1\pm \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

Disso, pela relação (3), temos que os valores correspondentes para $u$ são:

$u_{\mp }=\frac{1}{2}(1\mp \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})$

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( $1-4{\gamma }^{2}F\ge 0$ ). Por consequência:

$4{\gamma }^{2}F\le 1\Rightarrow 4{\left(\frac{F+k}{F}\right)}^{2}F\le 1\Rightarrow F\ge 4(F+k{)}^2$, para que existam as soluções não-triviais.

Portanto, há três soluções estacionárias $(u_i^{*},v_i^{*})$ do sistema:

$\begin{array}{rlrlr}& u_0^{*}=1& v_0^{*}& =0& \\ & u_1^{*}=\frac{1}{2}(1+\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& v_1^{*}& =\frac{1}{2\gamma }(1-\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& (5)\\ & u_2^{*}=\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& v_2^{*}& =\frac{1}{2\gamma }(1+\sqrt{1-4{\gamma }^{2}F})& \\ \end{array}$

Estabilidade dos estados estacionários (sem difusão)

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, $R_i(u,v)$. Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que $R_1(u,v)=-u{v}^2+F(1-u)$ e $R_2(u,v)=u{v}^2-(F+k)v$. A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

$J_R(u,v)=\left[\begin{array}{cc}{\partial }_u{R}_1& {\partial }_v{R}_1\\ {\partial }_u{R}_2& {\partial }_v{R}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-v^2-F& -2uv\\ v^2& 2uv-(F+k)\end{array}\right](6)$

Analisemos a estabilidade para os três pares $(u_i^{*},v_i^{*})$ de soluções estacionárias:

• Para $(u_0^{*},v_0^{*})=(1,0)$:

$J_R(u_0^{*},v_0^{*})=\left[\begin{array}{cc}-F& 0\\ 0& -(F+k)\end{array}\right](7)$

Por essa ser uma matriz diagonal, os autovalores ${\lambda }_i$ são justamente as entradas das diagonais; ou seja, ${\lambda }_1=-F$ e ${\lambda }_2=-(F+k)$. Uma vez que $F$ e $k$ são parâmetros positivos, os dois autovalores são reais e negativos, e portanto o ponto $(u_0^{*},v_0^{*})$ é sempre estável.

• Para $(u_{1,2}^{*},v_{1,2}^{*})=(\frac{1}{2}(1\pm \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F}),\frac{1}{2\gamma }(1\mp \sqrt{1-4{\gamma }^{2}F}))$, podemos utilizar uma estratégia que simplifica as contas. Em particular, nota-se que os dois pontos obedecem à segunda equação do sistema (2) com $v\ne 0$. Desse modo, se dividirmos tal equação por $v$, percebemos que ambos os pontos obedecem a:

$u_i^{*}{v}_i^{*}-(F+k)=0(8)$

Dessa equação, podemos calcular as entradas da segunda coluna da matriz jacobiana com facilidade:

$-2u_i^{*}{v}_i^{*}=-2(F+k)$

$2u_i^{*}{v}_i^{*}-(F+k)=(F+k)$

Assim, a matriz jacobiana desses pontos fica:

$J_R(u_i^{*},v_i^{*})=\left[\begin{array}{cc}-(v_i^{*}{)}^2-F& -2(F+k)\\ (v_i^{*}{)}^2& (F+k)\end{array}\right],i=1,2(9)$

Sabemos que o produto dos autovalores dessa matriz é igual ao seu determinante. Calculando-o, obtém-se:

${\mathrm{\Delta }}_i:=\det (J_R(u_i^{*},v_i^{*}))=(F+k)[(v_i^{*}{)}^2-F](10)$

Dividindo por $F(F+k)$:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{F(F+k)}=\frac{(v_i^{*}{)}^2}{F}-1={\left[\frac{1\mp \sqrt{1-4(\gamma \sqrt{F}{)}^2}}{2(\gamma \sqrt{F})}\right]}^2-1={\left[\frac{1\mp \sqrt{1-4a^2}}{2a}\right]}^2-1$

onde se definiu $a=\gamma \sqrt{F}$ (observação: este é o $\gamma$ definido no Gros). Nota-se que a condição de existência $a^2\le 1/4$ para os dois pontos não-triviais é equivalente a $F\ge 4(F+k{)}^2$. Expandindo os termos, é possível mostrar que a expressão acima pode ser reescrita como:

$\frac{{\mathrm{\Delta }}_i}{F(F+k)}=\frac{\sqrt{1-4a^2}}{2a^2}(\sqrt{1-4a^2}\mp 1)(11)$

• Para o caso $i=1$ (sinal negativo em (11)), temos a cota superior $1-4a^2<1$. Portanto, ${\mathrm{\Delta }}_1<0$ para todo $a$ que satisfaça a condição de existência. Como o determinante é negativo, sabemos que os autovalores são reais (comentário: como as entradas da matriz são reais, se os autovalores fossem complexos, seriam também conjugados, de modo que o produto deles fosse igual ao módulo ao quadrado de qualquer um, que seria um valor positivo). Ademais, como seu produto é negativo, eles têm sinais opostos; isto é, um deles é positivo, de modo que o ponto $(u_1^{*},v_1^{*})$ nunca seja estável. Depreendemos desse raciocínio que o determinante da matriz jacobiana de entradas reais ser positivo é uma condição necessária para que haja estabilidade do ponto.

• Já para $i=2$ (sinal positivo em (11)), temos sempre que ${\mathrm{\Delta }}_2>0$. Para verificar a estabilidade, temos que agora calcular o traço da matriz jacobiana, pois o traço é a soma dos autovalores: se os autovalores são reais, eles têm o mesmo sinal por seu determinante ser positivo, de modo que o traço compartilhe o sinal com os dois autovalores; se os autovalores ${\lambda }_i$ são complexos, eles serão conjugados e o traço será $\mathrm{Tr}(J_R)=2\mathrm{Re}({\lambda }_i)$, de modo que a parte real dos autovalores tenha o mesmo sinal do traço. Assim, basta que o traço seja negativo para que o ponto seja estável, e que seja positivo para que seja instável.

No caso, temos que $\mathrm{Tr}(J_R(u_2^{*},v_2^{*}))=k-(v_2^{*}{)}^2$. Esse traço é negativo quando $(v_2^{*}{)}^2>k$ e positivo quando $(v_2^{*}{)}^2<k$; ou seja, $(u_2^{*},v_2^{*})$ é estável quando $v_2^{*}>\sqrt{k}$ e instável quando $v_2^{*}<\sqrt{k}$ (lembrando que $v_2^{*}>0$ para todo $F$ e $k$). Desse modo, pode-se caracterizar uma transição de estabilidade quando $v_2^{*}=\sqrt{k}$.

Utilizando simultaneamente as equações (3) e (8), obtemos:

$\frac{F+k}{v_2^{*}}=u_2^{*}=1-\gamma v_2^{*}=1-\frac{F+k}{F}{v}_2^{*}\Rightarrow (F+k)\frac{F+(v_2^{*}{)}^2}{F}=v_2^{*}$

Substituindo $v_2^{*}=\sqrt{k}$, obteremos ao final:

$(F+k{)}^2=F\sqrt{k}(12)$

Estabilidade dos estados estacionários (com difusão)

Precisamos agora analisar a estabilidade dos pontos estacionários na presença de difusão, como prescreve o sistema de equações (1), que descreve o modelo. Para isso, é necessário levar em consideração, para cada um dos estados de equilíbrio, os autovalores da matriz $(J_R-D{\omega }^2){|}_{(u_i^{*},v_i^{*})}$, em que $D$ é a matriz diagonal cujas entradas são $D_u$ e $D_v$:

$D=\left[\begin{array}{cc}{D}_u& 0\\ 0& D_v\end{array}\right]$

Se escrevermos, genericamente, que $J_R(u_i^{*},v_i^{*})=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, teremos a seguinte matriz jacobiana de reação-difusão:

$(J_R-D{\omega }^2){|}_{(u_i^{*},v_i^{*})}=\left[\begin{array}{cc}a-D_u{\omega }^2& b\\ c& d-D_v{\omega }^2\end{array}\right]$

Como já detalhado acima, para que o ponto seja estável, tal matriz tem que ter a parte real de todos os seus autovalores negativa, de modo que seu determinante seja positivo ($\det (J_R-D{\omega }^2)>0$) e seu traço negativo ($\mathrm{Tr}(J_R-D{\omega }^2)>0$). Impondo tais condições à matriz acima, obteremos, após manipulações:

$\begin{array}{rlr}a{D}_v{\omega }^2+d{D}_u{\omega }^2-D_u{D}_v{\omega }^4& <\det (J_R)& (13)\\ D_u{\omega }^2+D_v{\omega }^2& >\mathrm{Tr}(J_R)& (14)\\ \end{array}$

Se o traço é negativo, vemos que a segunda equação é imediatamente satisfeita, pois o lado esquerdo é positivo em qualquer situação.

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Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$:

$(\left(\begin{array}{cc}-F-v^2& -2uv\\ v^2& -F-k+2uv\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}{D}_u& 0\\ 0& D_v\end{array}\right){\omega }^2){|}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left(\begin{array}{cc}-F-D_u{\omega }^2& 0\\ 0& -F-k-D_v{\omega }^2\end{array}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_u{\omega }^2)(F+k+D_v{\omega }^2)>0$

$-2F-(D_u+D_v){\omega }^2-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de $F,k,D_u$, e $D_v$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).

Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ está presente .

Implementação

Será usado o método FTCS (Foward Time Central Space) para integrar as equações do modelo. Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki (ver, por exemplo, Modelo de Turing), a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente. Para uma função $f(x,y,t)$:

$\frac{\partial f}{\partial t}\approx \frac{f(x,y,t+\mathrm{\Delta }t)-f(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }t}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}\approx \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}\approx \frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)}{\mathrm{\Delta }{y}^2}$

A partir das duas últimas equações acima é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, como será usado no presente trabalho, pode ser escrito como

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y,t)\approx \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\mathrm{\Delta }x,y,t)}{\mathrm{\Delta }{x}^2}+\frac{f(x,y+\mathrm{\Delta }y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\mathrm{\Delta }y,t)}{\mathrm{\Delta }{y}^2}$

Fazendo $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }h$, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y,t)=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }h,y,t)+f(x-\mathrm{\Delta }h,y,t)+f(x,y+\mathrm{\Delta }h,t)+f(x,y-\mathrm{\Delta }h,t)-4f(x,y,t)}{\mathrm{\Delta }{h}^2}$

Usando a notação $f(x\pm \mathrm{\Delta }h,y\pm \mathrm{\Delta }h,t\pm \mathrm{\Delta }t)\equiv f_{i\pm 1,j\pm 1}^{n\pm 1}$ é possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^n+[-u_{i,j}^n(v_{i,j}^n{)}^2+F(1-u_{i,j}^n)+D_u\frac{u_{i+1,j}^n+u_{i-1,j}^n+u_{i,j+1}^n+u_{i,j-1}^n-4u_{i,j}^n}{\mathrm{\Delta }{h}^2}]\mathrm{\Delta }t$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^n+[u_{i,j}^n(v_{i,j}^n{)}^2-(F+k)v_{i,j}^n+D_v\frac{v_{i+1,j}^n+v_{i-1,j}^n+v_{i,j+1}^n+v_{i,j-1}^n-4v_{i,j}^n}{\mathrm{\Delta }{h}^2}]\mathrm{\Delta }t$

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho $69\times 69$. O estado do inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial $(u,v)=(1,0)$, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com $(u,v)=(0,1)$. Foram usadas condições de fronteira conforme a Figura 1.

Figura 1 - Grid para exemplificar as condições de fronteira usadas na simulação.

Cada elemento na matriz tem quatro vizinhos que são denominados por U (Up), D (Down), L (Left), R (Right). Na Figura 1, o elemento $1$, possui os vizinhos $U=D=5$, $R=L=6$; o elemento $2$ possui como vizinhos $U=1$, $R=L=9$ e $D=10$; o elemento $3$ tem vizinhos $U=D=7$, $R=1$ e $L=8$; e, finalmente, os vizinhos de $4$ são $U=3$, $D=12$, $L=11$ e $R=2$.

Essas condições de fronteira e a condição inicial explicada acima buscam reproduzir as mesmas condições usadas na simulação de Sayama.

Resultados e discussão

Modelo de Gray-Scott com $(D_u,D_v)=(2\times 10^{-5},10^{-5})$
Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.015,0.055)$, de t=0 até t=2000.	Concentração de $u$ para $(F,k)=(0.02,0.05)$, de t=0 até t=2000.

Programa

Simulação do Modelo de Gray-Scott

Bibliografia

• C. Gros, "Complex and Adaptive Dynamical Systems". Springer-Verlag, Berlim, 2015.
• H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems". Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.