Método de Leapfrog

Partindo da ideia que uma inclinação entre dois em uma curva é uma aproximação muito melhor da derivada no ponto médio em alguma das extremidades., e tendo as seguintes equações do movimento:

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{dt}& =v\\ \frac{dv}{dt}& =a\end{array}$$

Sendo a Derivada Numérica:

$$\begin{array}{rl}v\left(t\right)& \approx \frac{x(+\mathrm{\Delta }t)-x(t-\mathrm{\Delta }t)}{2\mathrm{\Delta }t}\\ & \approx \frac{x(t+\mathrm{\Delta }t/2)-x(t-\mathrm{\Delta }t/2)}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}$$

Então para a equação da velocidade temos que:

$$v(t+\mathrm{\Delta }t/2)\approx \frac{x(t+\mathrm{\Delta }t)-x\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}$$

Ou ainda

$$x(t+\mathrm{\Delta }t)=x\left(t\right)+v(t+\mathrm{\Delta }t/2)\mathrm{\Delta }t$$

E aplicando a mesma ideia para a aceleração:

$$a\left(t\right)\approx \frac{v(t+\mathrm{\Delta }t/2)-v(t-\mathrm{\Delta }t/2)}{\mathrm{\Delta }t}$$

Logo:

$$v(t+\mathrm{\Delta }t/2)=a\left(t\right)\mathrm{\Delta }t+v(t-\mathrm{\Delta }t/2)$$

Temos então:

$$\begin{array}{rl}v(t+\mathrm{\Delta }t/2)& =v(t-\mathrm{\Delta }t/2)+a\left(t\right)\mathrm{\Delta }t\\ x(t+\mathrm{\Delta }t)& =x\left(t\right)+v(t+\mathrm{\Delta }t/2)\mathrm{\Delta }t\end{array}$$