Método de Leapfrog

Partindo da ideia que uma inclinação entre dois em uma curva é uma aproximação muito melhor da derivada no ponto médio em alguma das extremidades., e tendo as seguintes equações do movimento:

$${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v\\{\frac {dv}{dt}}&=a\end{aligned}}$$

Sendo a Derivada Numérica:

$${\begin{aligned}v\left(t\right)&\approx {\frac {x\left(+\Delta t\right)-x\left(t-\Delta t\right)}{2\Delta t}}\\&\approx {\frac {x\left(t+\Delta t/2\right)-x\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}}\end{aligned}}$$

Então para a equação da velocidade temos que:

$$v\left(t+\Delta t/2\right)\approx {\frac {x\left(t+\Delta t\right)-x\left(t\right)}{\Delta t}}$$

Ou ainda

$$x\left(t+\Delta t\right)=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t$$

E aplicando a mesma ideia para a aceleração:

$$a\left(t\right)\approx {\frac {v\left(t+\Delta t/2\right)-v\left(t-\Delta t/2\right)}{\Delta t}}$$

Logo:

$$v\left(t+\Delta t/2\right)=a\left(t\right)\Delta t+v\left(t-\Delta t/2\right)$$

Temos então:

$${\begin{aligned}v\left(t+\Delta t/2\right)&=v\left(t-\Delta t/2\right)+a\left(t\right)\Delta t\\x\left(t+\Delta t\right)&=x\left(t\right)+v\left(t+\Delta t/2\right)\Delta t\end{aligned}}$$