Modelo de Gray-Scott

Descrição do Modelo

O modelo de Gray-Scott descreve uma reação autocatalítica. Sejam duas substâncias químicas cujas concentrações em um dado ponto do espaço são dadas pelas variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , a reação pode ser representada como

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u + 2v \to 3v}

Isso significa que uma molécula da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} é transformada em uma molécula da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} por meio da ação de outras duas moléculas da substância Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} é um catalisador de sua própria produção (daí o termo autocatálise). Além dessa reação, ambas substâncias se difundem pelo meio (por isso esse modelo pertence à classe mais geral de modelos reativos-difusivos) e, portanto, as concentrações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} mudam com o tempo e diferem em cada ponto. Por simplicidade, assume-se que a reação reversa (i.e., Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3v \to u + 2v} ) não ocorre. Há reposição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} a uma taxa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} (taxa de alimentação, feed rate) e remoção de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} a uma taxa ligeiramente mais rápida do que a reposição de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} .

O comportamento geral do sistema pode ser descrito pelas equações abaixo:

${\begin{aligned}{\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}&=-uv^{2}+F(1-u)+D_{u}\nabla ^{2}u\\{\frac {\partial {v}}{\partial {t}}}&=uv^{2}-(F+k)v+D_{v}\nabla ^{2}v\quad (1)\\\end{aligned}}$

Análise de estabilidade

Nota: A análise em toda esta seção pressupõe sempre que os parâmetros e coeficientes de difusão são positivos.

Soluções estacionárias sem difusão

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F, k} e dos coeficientes de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}, D_{v}} das espécies químicas. Ignorando em um primeiro momento os termos de difusão, percebe-se que, por inspeção, o sistema possui uma solução estacionária em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}, v^{*}) = (1, 0)} para quaisquer valores dos parâmetros. Esse ponto, no entanto, não é a única solução estacionária do sistema; para encontrar as outras, é necessário impor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \partial u/\partial t = \partial v/\partial t = 0} nas equações do sistema. Fazendo isso e dispensando os termos de difusão (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u} = D_{v} = 0} ), obtém-se o seguinte sistema de equações:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} - & uv^2 + F(1-u) = 0\\ & uv^2 - (F+k)v = 0 \quad (2)\\ \end{align}}

Somando essas duas equações, relacionamos as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(1-u) - (F+k)v = 0 \Rightarrow u = 1 - \gamma v }

onde definiu-se o parâmetro auxiliar Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma = \frac{F+k}{F}} .

Substituindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} na segunda equação do sistema (2) (e reescrevendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F+k =\gamma F} ), ficamos com:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(1 - \gamma v \right)v^2 -\gamma F v = 0 \Rightarrow -\gamma v^3 + v^2 - \gamma F v = 0}

Evidentemente, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = 0} é solução dessa equação, implicando em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = 1} , como já havíamos inspecionado. Alternativamente, considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v \neq 0} , podemos dividir a expressão acima por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} , ficando com Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\gamma v^2 + v - \gamma F = 0} . Resolvendo esta equação quadrática, obtemos duas novas soluções estacionárias para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{\pm} = \frac{1}{2\gamma}(1 \pm \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

Disso, pela relação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = 1 - \gamma v } , temos que os valores correspondentes para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} são:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u_{\mp} = \frac{1}{2}(1 \mp \sqrt{1 - 4\gamma^2 F})}

É necessário apontar que, para que as duas últimas soluções (não-triviais) existam — isto é, sejam números reais — o fator dentro da raiz quadrada tem de ser positivo ( Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - 4\gamma^2 F \geq 0} ). Por consequência:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4\gamma^2 F \leq 1 \Rightarrow 4 \left(\frac{F+k}{F}\right)^2 F \leq 1 \Rightarrow F \geq 4(F+k)^2} , para que existam as soluções não-triviais.

Portanto, há três soluções estacionárias Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (u^{*}_{i}, v^{*}_{i})} do sistema:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & u^{*}_{0} = 1 & v^{*}_{0} = 0 \\ & u^{*}_{1} = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{1} = \frac{1}{2\gamma}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) \\ & u^{*}_{2} = \frac{1}{2}(1 - \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) & v^{*}_{2} = \frac{1}{2\gamma}(1 + \sqrt{1 - 4\gamma^2 F}) \\ \end{align}}

Estabilidade dos estados estacionários

Para avaliar a estabilidade das soluções acima, faz-se necessário obter a matriz Jacobiana dos termos de reação, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{i}(u,v)} . Explicitamente, analisando o sistema (1) de equações, temos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{1}(u,v) = -uv^2 + F(1-u)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{2}(u,v) = uv^2 - (F+k)v} . A matriz Jacobiana do sistema é então dada por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J_{R}(u,v) = \left(\begin{array}{rr}\partial_{u} R_{1}& \partial_{v} R_{1}\\ \partial_{u} R_{2}& \partial_{v} R_{2}\end{array}\right)}

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Esse estado de equilíbrio é estável porque a matriz jacobiana Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle J|_{(u^*,v^*) = (1,0)} = \left(\begin{array}{cc}-F&0\\0&-F-k\end{array}\right)} possui traço negativo e determinante positivo.

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Se agora incluímos os termos de difusão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{u}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_{v}} , deve-se levar em consideração a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(J - D \omega^2\right)\Bigg|_{f = f_{eq}}} . Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $\omega$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*},v^{*})=(1,0)$:

$\left(\left({\begin{array}{cc}-F-v^{2}&-2uv\\v^{2}&-F-k+2uv\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{cc}D_{u}&0\\0&D_{v}\end{array}}\right)\omega ^{2}\right){\Bigg |}_{(u^{*},v^{*})=(1,0)}=\left({\begin{array}{cc}-F-D_{u}\omega ^{2}&0\\0&-F-k-D_{v}\omega ^{2}\end{array}}\right)$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o traço seja negativo. Obtém-se então

$(F+D_{u}\omega ^{2})(F+k+D_{v}\omega ^{2})>0$

$-2F-(D_{u}+D_{v})\omega ^{2}-k<0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores de $F,k,D_{u}$, e $D_{v}$. Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ permanece estável no modelo de Gray-Scott mesmo após a inclusão dos coeficientes de difusão, sejam quais forem os valores desses coeficientes (lembrando que estamos nos restringindo a valores positivos dos parâmetros e coeficientes).

Esse é um resultado à primeira vista surpreendente. Em geral, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos em sistemas reativos-difusivos está relacionado à desestabilização de um ou mais estados de equilíbrio homogêneo causada pela introdução dos coeficientes de difusão (conhecida como instabilidade de Turing).

Entretanto, no caso do modelo de Gray-Scott, o surgimento de padrões complexos e não homogêneos não decorre da instabilidade de Turing, uma vez que o surgimento de padrões não triviais nesse modelo ocorre mesmo quando apenas o estado de equilíbrio trivial $(u^{*},v^{*})=(1,0)$ está presente .

Implementação

Será usado o método FTCS (Foward Time Central Space) para integrar as equações do modelo. Como existem explicações do método em toda literatura e em outras entradas da Wiki Título do link, a explicação aqui será sucinta.

O método consiste em discretizar a derivada parcial em relação ao tempo para frente e discretizar as derivadas parciais de segunda ordem em relação ao espaço centralmente. Para uma função $f(x,y,t)$:

${\frac {\partial f}{\partial t}}\approx {\frac {f(x,y,t+\Delta t)-f(x,y,t)}{\Delta t}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\approx {\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

A partir das duas últimas equações acima é fácil mostrar que o laplaciano em duas dimensões, como será usado no presente trabalho, pode ser escrito como

$\nabla ^{2}f(x,y,t)\approx {\frac {f(x+\Delta x,y,t)-2f(x,y,t)+f(x-\Delta x,y,t)}{\Delta x^{2}}}+{\frac {f(x,y+\Delta y,t)-2f(x,y,t)+f(x,y-\Delta y,t)}{\Delta y^{2}}}$

Fazendo $\Delta x=\Delta y=\Delta h$, pode-se simplificar a discretização do laplaciano para

$\nabla ^{2}f(x,y,t)={\frac {f(x+\Delta h,y,t)+f(x-\Delta h,y,t)+f(x,y+\Delta h,t)+f(x,y-\Delta h,t)-4f(x,y,t)}{\Delta h^{2}}}$

Usando a notação $f(x\pm \Delta h,y\pm \Delta h,t\pm \Delta t)\equiv f_{i\pm 1,j\pm 1}^{n\pm 1}$ é possível então escrever as equações do modelo de forma discretizada:

$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^{n}+\left[-u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}+F(1-u_{i,j}^{n})+D_{u}{\frac {u_{i+1,j}^{n}+u_{i-1,j}^{n}+u_{i,j+1}^{n}+u_{i,j-1}^{n}-4u_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t$

$v_{i,j}^{n+1}=v_{i,j}^{n}+\left[u_{i,j}^{n}(v_{i,j}^{n})^{2}-(F+k)v_{i,j}^{n}+D_{v}{\frac {v_{i+1,j}^{n}+v_{i-1,j}^{n}+v_{i,j+1}^{n}+v_{i,j-1}^{n}-4v_{i,j}^{n}}{\Delta h^{2}}}\right]\Delta t$

Utilizou-se uma rede quadrada de tamanho $69\times 69$ com condições de contorno periódicas. O estado do inicial do sistema é aquele em que todos os pontos estão no estado de equilíbrio estável trivial $(u,v)=(1,0)$, exceto o ponto central, em que é introduzida uma perturbação com $(u,v)=(0,1)$, como simulado por Sayama.

A formação de padrões no modelo depende fortemente não apenas dos parâmetros e coeficientes de difusão, mas também de $\Delta h$ e $\Delta t$.