Modelo de Gray-Scott

Análise de estabilidade

O modelo de Gray-Scott depende dos parâmetros $F, k$ e dos coeficientes de difusão $D_{u}, D_{v}$ . É fácil mostrar que, ignorando os termos de difusão, o sistema possui estado de equilíbrio em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Afirmação: O modelo de Gray-Scott possui estado de equilíbrio homogêneo em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Demonstração: Resolvendo o sistema de equações do modelo com $\frac{\partial u}{\partial t} = 0$ e $\frac{\partial v}{\partial t} = 0$ e fazendo $D_{u} = D_{v} = 0$ , temos

$0 = - u v^{2} + F (1 - u)$

$0 = u v^{2} - (F + k) v$

É então trivial que o sistema acima é satisfeito quando $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ .

Esse estado de equilíbrio é estável no modelo de Gray-Scott para quaisquer valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ . É possível mostrar isso a partir da determinação dos autovalores da matriz

$(J - D ω^{2}) |_{f = f_{e q}}$

Aqui, $J$ é a matriz jacobiana dos termos de reação, $D$ é a matriz diagonal dos termos de difusão e $ω$ é o parâmetro que determina a frequência espacial das perturbações. A demonstração da validade desse método pode ser encontrada na referência^[1]. Aplicando ao modelo de Gray-Scott em $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$

$((\begin{array}{cc} - F - v^{2} & - 2 u v \\ v^{2} & - F - k + 2 u v \end{array}) - (\begin{array}{cc} D_{u} & 0 \\ 0 & D_{v} \end{array}) ω^{2}) |_{(u, v) = (1, 0)} = (\begin{array}{cc} - F - D_{u} ω^{2} & 0 \\ 0 & - F - k - D_{v} ω^{2} \end{array})$

Para que o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ seja estável é necessário que o determinante da matriz acima seja positivo e o seu traço seja negativo. Obtém-se então

$(F + D_{u} ω^{2}) (F + k + D_{v} ω^{2}) > 0$

$- 2 F - (D_{u} + D_{v}) ω^{2} - k < 0$

Ambas desigualdades são imediatamente satisfeitas para quaisquer valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ . Portanto, o estado de equilíbrio $(u^{*}, v^{*}) = (1, 0)$ é estável no modelo de Gray-Scott nessas condições.

Como o modelo claramente exibe padrões complexos não homogêneos para diversos valores positivos de $F, k, D_{u}$ , e $D_{v}$ , devem então existir outros estados de equilíbrio e pelo menos um deles deve ser instável para determinados valores dos parâmetros. De fato, há outros dois estados de equilíbrio.^[2]

Os outros estados de equilíbrio do modelo de Gray-Scott, ditos não triviais, são $(u_{+}, v_{-})$ e $(u_{-}, v_{+})$ , com

$u_{\pm} = \frac{1}{2} (1 \pm \sqrt{1 - 4 γ^{2} F})$

$v_{\mp} = \frac{1}{2 γ^{2}} (1 \mp \sqrt{1 - 4 γ^{2} F})$

$γ = \frac{F + k}{F}$

Esses estados são de equilíbrio quando $F \geq 4 (F + k)^{2}$ .

Referências

↑ H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.
↑ Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.

[Sayama260-1] H. Sayama, "Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems", p. 287. Open SUNY Textbooks, Geneseo, NY, 2015.

[Wang-2] Tingting Wang et al., "Fractional Gray–Scott model: Well-posedness, discretization, and simulations, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering", Volume 347, 2019, pp. 1030-1049, ISSN 0045-7825, https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.01.002.

[1]

[2]

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Referências

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